（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十六）直线与圆、圆与圆的位置关系 理（含解析

课时跟踪检测（四十六）直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·扬州期末)已知直线l：x＋3y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：圆心C(0,0)到直线l的距离d＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，所以AB＝24－1＝23，故弦AB的长为23.答案：232．(2019·南京调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y＝0与圆(x－3)2＋(y－1)2＝25相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：圆(x－3)2＋(y－1)2＝25的圆心坐标为(3,1)，半径为5.∵圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝|3＋2×1|5＝5，∴线段AB的长为2r2－d2＝225－5＝45.答案：453．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于2，则圆半径r的取值范围为________．解析：∵圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(3，－5)，半径为r，∴圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|12＋15－2|5＝5，∵圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于2，∴|r－5|＜2，解得3＜r＜7.答案：(3,7)4．(2018·苏锡常镇调研)若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，故圆心到直线的距离d＝|－3＋8－m|32＋42≤1.即|m－5|≤5，解得0≤m≤10.答案：[0,10]5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为C，点A，B在圆C上，且AB＝23，则S△ABC＝________.解析：圆C：x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3,0)，半径为2.∵点A，B在圆C上，且AB＝23，∴圆心(3,0)到直线AB的距离为22－32＝1，∴S△ABC＝12×23×1＝3.答案：36．若圆x2＋y2＋mx－14＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.解析：圆的标准方程为x＋m22＋y2＝m2＋122，圆心到直线y＝－1的距离m2＋12＝|0－(－1)|，解得m＝±3，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝3.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线3x＋y－2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为________．解析：如图，作出直线3x＋y－2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O到直线3x＋y－2＝0的距离为1，∴在直线3x＋y－2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线3x＋y－2＝0的距离为1，过原点作直线3x＋y－2＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为2，到直线3x＋y－2＝0的距离为1.故满足条件的点A共3个．答案：32．(2018·苏州调研)两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c2＝0上，则m＋c＝________.解析：由题意可知线段AB的中点m＋12，2在直线x－y＋c2＝0上，代入得m＋c＝3.答案：33．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－3)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．解析：因为PT与圆x2＋y2＝1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∠OTP＝π2，从而∠OPT＝π6，PT＝3，故直线PT的方程为x±3y＋2＝0，因为直线PT截圆(x－a)2＋(y－3)2＝3得弦长RS＝3，设圆心到直线的距离为d，则d＝|a±3＋2|2，又3＝23－d2，即d＝32，即|a±3＋2|＝3，解得a＝－8或a＝－2或a＝4，因为a＞0，所以a＝4.答案：44．(2018·无锡模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA―→·PB―→≤0，则线段EF长度的最大值是________．解析：由PA―→·PB―→≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝2PC≥sin45°＝22，所以PC≤22.另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂直时，PCmin＝322，以C为圆心，CP＝22为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝222－3222＝14.答案：145．(2019·镇江调研)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：如图，因为圆O1与圆O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又因为OA＝5，O1A＝25，所以OO1＝5.又A，B关于OO1对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．由12·OA·O1A＝12OO1·AC，得AC＝2.所以AB＝4.答案：46．(2018·淮阴期末)圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则1a2＋4b2的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－b)2＝1，∴圆心分别为(－a,0)，(0，b)，半径分别为2和1.∵两圆相内切，∴a2＋b2＝1，∴a2＋b2＝1，∴1a2＋4b2＝1a2＋4b2(a2＋b2)＝5＋4a2b2＋b2a2≥5＋4＝9，当且仅当4a2b2＝b2a2，即a2＝13，b2＝23时等号成立．故1a2＋4b2的最小值为9.答案：97．(2018·苏北四市期末)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|PA―→＋PB―→|的取值范围为________．解析：如图，因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，所以线段AB的中点H在圆O：x2＋y2＝14上，且|PA―→＋PB―→|＝2|PH―→|.因为点P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH―→|≤5＋32，即72≤|PH―→|≤132，所以7≤2|PH―→|≤13，从而|PA―→＋PB―→|的取值范围为[7,13]．答案：[7,13]8．(2019·淮安模拟)已知圆O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．解析：圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO＝2r＝2，∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离小于或等于PO＝2，即|2|1＋k≤2，即1＋k≥2，解得k≥1，∴实数k的最小值为1.答案：19．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则a－2＋－2a＋2＝|a－2a－1|2.化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.所以C(1，－2)，半径r＝|AC|＝－2＋－2＋2＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为y＝－34x.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1,2)．(1)若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为2－01－－＝1，设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝|2＋m|2.因为MN＝AB＝22＋22＝22，而CM2＝d2＋MN22，所以4＝＋m22＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.因为|2－2|＜－2＋－2＜2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)过曲线y＝2|x－a|＋x－a上的点P向圆O：x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OPA＝30°，所以PO＝2AO＝2，故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.y＝2|x－a|＋x－a＝3x－3a，x≥a，－x＋a，x＜a，当x≤a时，曲线为x＋y－a＝0，当x≥a时，曲线为3x－y－3a＝0.故当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有|3a|1＋9＜2，即－3a10＜2，解得a＞－2103，即－2103＜a＜0；当a＝0时，曲线为y＝2|x|＋x＝3x，x≥0，－x，x＜0，符合题意；当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有|a|1＋1＜2，解得a＜22，即0＜a＜22，综上，实数a的取值范围是－2103，22.答案：－2103，222．(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且BM―→＝2MA―→，则直线l的方程为__________．解析：法一：易知直线l的斜率存在，设l：y＝k(x－1)．由BM―→＝2MA―→，可设BM＝2t，MA＝t，如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝3t2.设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋3t22＝r2＝5，在Rt△OMH中，d2＋t22＝OM2＝1，解得d2＝12.所以d2＝k2k2＋1＝12，解得k＝1或k＝－1，因为点A在第一象限，BM―→＝2MA―→，由图知k＝1，所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以MA―→＝(x1－1，y1)，BM―→＝(1－x2，－y2)．因为BM―→＝2MA―→，所以1－x2＝x1－，－y2＝2y1，即－x2＝2x1－3，－y2＝2y1.又x22＋y22＝5，所以(2x1－3)2＋4y21＝5，联立x21＋y21＝5，x1－2＋4y21＝5，解得x1＝2，代入可得y1＝±1，又点A在第一象限，故A(2,1)，所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝03．已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋y2＝4.(1