（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十二）空间向量的综合应用 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十二）空间向量的综合应用一保高考，全练题型做到高考达标1.(2019·海安检测)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A­B1E­A1的大小为30°，求AB的长．解：(1)证明：以A为坐标原点，AB―→，AD―→，AA1―→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)，故AD1―→＝(0,1,1)，B1E―→＝－a2，1，－1.∵B1E―→·AD1―→＝0＋1－1＝0，∴B1E―→⊥AD1―→，即B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时DP―→＝(0，－1，z0)．由(1)知，AB1―→＝(a,0,1)，AE―→＝a2，1，0.设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．则n·AB1―→＝0，n·AE―→＝0，即ax＋z＝0，a2x＋y＝0.取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－a2，－a.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP―→，即a2－az0＝0，解得z0＝12.又∵DP⊄平面B1AE，∴在棱AA1上存在一点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12.(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCD­A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1.∴AD1―→是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1―→＝(0,1,1)．则cos〈n，AD1―→〉＝n·AD1―→|n||AD1―→|＝－a2－a2·1＋a24＋a2.∵二面角A­B1E­A1的大小为30°，∴3a22·1＋5a24＝32，解得a＝2，即AB的长为2.2．(2018·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是线段PC的中点．(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；(2)若点F在线段PB上，且使得二面角F­DE­B的正弦值为33，求PFPB的值．解：(1)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以{DA―→，DC―→，DP―→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，不妨设DA＝DC＝DP＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，所以AP―→＝(－2,0,2)，BE―→＝(－2，－1,1)，所以cos〈AP―→，BE―→〉＝AP―→·BE―→|AP―→|·|BE―→|＝32，从而〈AP―→，BE―→〉＝π6.因此异面直线AP与BE所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DP―→＝(0,0,2)，DE―→＝(0,1,1)，DB―→＝(2,2,0)，PB―→＝(2,2，－2)．设PF―→＝λPB―→，则PF―→＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF―→＝DP―→＋PF―→＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，则m·DE―→＝0，m·DE―→＝0，即λx1＋λy1＋－λz1＝0，y1＋z1＝0，取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量，设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量，则n·DB―→＝0，n·DE―→＝0，即2x2＋2y2＝0，y2＋z2＝0，取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量．因为二面角F­DE­B的正弦值为33，所以二面角F­DE­B的余弦值的绝对值为63，即|cos〈m，n〉|＝|m·n||m|·|n|＝|4λ－1|3·λ－2＋2λ2＝63，化简得4λ2＝1.因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PFPB＝12.3．(2018·常州期末)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；(2)求二面角C­B1A­B的余弦值．解：(1)取A1D1的中点E，因为D1A＝D1D，所以D1A＝A1A，所以AE⊥A1D1.又A1D1∥AD，所以AE⊥AD.因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD，侧面ADD1A1∩底面ABCD＝AD，AE⊂侧面ADD1A1，所以AE⊥平面ABCD.则以A为原点，以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，－1,1)，设F(a，b,0)，则D1F―→＝(a，b－1，－1)，AC―→＝(1,1,0)，AB1―→＝(1，－1,1)，因为D1F⊥平面AB1C，所以D1F―→·AC―→＝0，D1F―→·AB1―→＝0，即a＋b－1＝0，a－b＝0，得a＝b＝12，所以F12，12，0，即F为AC的中点．所以存在AC的中点F，使D1F⊥平面AB1C.(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1＝D1F―→＝12，－12，－1.设平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)，因为AB―→＝(1,0,0)，所以n2·AB―→＝0，n2·AB1―→＝0，即x＝0，x－y＋z＝0，令y＝1，得n2＝(0,1,1)．则cos〈n1，n2〉＝－3232×2＝－32.由图知二面角C­B1A­B为锐角，所以二面角C­B1A­B的余弦值为32.4．(2019·苏北四市一模)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．(1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．所以AP―→＝(0,0,4)，BM―→＝(－1,1,2)，所以cos〈AP―→，BM―→〉＝AP―→·BM―→|AP―→||BM―→|＝84×6＝63，所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为63.(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN―→＝(－1，λ－1，－2)，BC―→＝(0,2,0)，PB―→＝(2,0，－4)．设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BC―→＝0，m·PB―→＝0，即2y＝0，2x－4z＝0.令x＝2，得y＝0，z＝1，所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量，因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，所以|cos〈MN―→，m〉|＝|MN―→·m||MN―→||m|＝|－2－2|5＋λ－2·5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2018·无锡期末)如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD＝1，D1D＝2，点P为棱CC1的中点．(1)设二面角A­A1B­P的大小为θ，求sinθ的值；(2)设M为线段A1B上的一点，求AMMP的取值范围．解：(1)如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1，1,0)，所以PA1―→＝(1，－1,1)，PB―→＝(1,0，－1)，设平面PA1B的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PA1―→＝0，m·PB―→＝0，即x－y＋z＝0，x－z＝0，令x＝1，得m＝(1,2,1)．又平面AA1B的一个法向量n＝DA―→＝(1,0,0)，所以cos〈n，m〉＝n·m|n|·|m|＝66，则sinθ＝306.(2)设M(x，y，z)，因为M在A1B上，所以BM―→＝λBA1―→，即(x－1，y－1，z)＝λ(0，－1,2)(0≤λ≤1)，所以M(1,1－λ，2λ)，所以MA―→＝(0，λ－1，－2λ)，MP―→＝(－1，λ，1－2λ)，所以AMMP＝λ－2＋4λ21＋λ2＋－2λ2＝5λ2－2λ＋15λ2－4λ＋2＝1＋2λ－15λ2－4λ＋2，令2λ－1＝t∈[－1,1]，则2λ－15λ2－4λ＋2＝4t5t2＋2t＋5，当t∈[－1,0)时，4t5t2＋2t＋5＝45t＋5t＋2∈－12，0，当t∈(0,1]时，4t5t2＋2t＋5＝45t＋5t＋2∈0，13，当t＝0时，4t5t2＋2t＋5＝0，所以4t5t2＋2t＋5∈－12，13，则AMMP∈22，233.