（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十三）导数的概念及导数的运算 文（含解析）苏教

课时跟踪检测（十三）导数的概念及导数的运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f(x)＝ex＋x2＋sinx的导函数f′(x)＝________.答案：ex＋2x＋cosx2．(2018·镇江调研)函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．解析：由f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，得f′(x)＝3x2＋2x－1，所以f′(1)＝3＋2－1＝4.答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为____________．解析：因为y′＝ex，所以y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝e0＝1，因此切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝04．已知函数f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′π2＝________.解析：因为f′(x)＝－1x2cosx＋1x(－sinx)，所以f(π)＋f′π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x－a32＋a23，当x＝a3时，f′(x)取到最大值a23.∴a23＜1，解得－3＜a＜3.答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f(x)＝x3－2x2＋x＋6，所以f′(x)＝3x2－4x＋1，所以f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－54，所以所求面积S＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝________.解析：因为f(x)＝x2＋2xf′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，则f′(x)＝2x－4，所以f′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2018)＝6，则f′(－2018)＝________.解析：因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2018)＝6，所以f′(－2018)＝14－6＝8.答案：83．(2019·淮安调研)曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y＝1－2x＋2＝xx＋2，所以y′＝x＋2－xx＋2＝2x＋2，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：y＝2x＋14．(2018·无锡期末)在曲线y＝x－1x(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为13，则x0＝________.解析：因为y′＝1＋1x2，切点Px0，x0－1x0，x0＞0，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝1＋1x20，所以切线方程是y－x0－1x0＝1＋1x20(x－x0)．令y＝0，得x＝2x0x20＋1，即A2x0x20＋1，0；令x＝0，得y＝－2x0，即B0，－2x0.所以S△OAB＝12·2x0x20＋1·2x0＝2x20＋1＝13，解得x0＝5.答案：55．已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________.解析：因为f′(x)＝1x，所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，所以切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m＜0，解得m＝－2.答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f(x)＝x3.设曲线y＝f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导函数，则fx1fx2的值为________．解析：由f′(x)＝3x2，得f′(x1)＝3x21，所以曲线y＝f(x)在点P(x1，x31)处的切线方程为y＝3x21x－2x31，由y＝3x21x－2x31，y＝x3，解得Q(－2x1，－8x31)，所以x2＝－2x1，所以fx1fx2＝3x213x22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f(x)＝2sinx，g(x)＝acosx，x∈0，π2相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．解析：f′(x)＝2cosx，g′(x)＝－asinx．设点P的横坐标为x0，则f(x0)＝g(x0)，f′(x0)·g′(x0)＝－1，即2sinx0＝acosx0，(2cosx0)·(－asinx0)＝－1，所以4sin2x0＝1.即sinx0＝±12，因为x0∈0，π2，所以sinx0＝12，cosx0＝32，所以a＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1(x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P(x0，x20＋1)，x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x20＋1)＝2x0(x－x0)，所以y＝2x0(x－x0)＋x20＋1，设g(x)＝2x0(x－x0)＋x20＋1，则g(1)＋g(2)＝－2x20＋6x0＋2，所以S普通梯形＝g＋g2×1＝－x20＋3x0＋1＝－x0－322＋134，所以P点坐标为32，134时，S普通梯形最大．答案：32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数：(1)y＝x2(lnx＋sinx)；(2)y＝cosx－xx2；(3)y＝xlnx.解：(1)y′＝2x(lnx＋sinx)＋x21x＋cosx＝2xlnx＋2xsinx＋x＋x2cosx.(2)y′＝－sinx－x2－x－xxx4＝x－2cosx－xsinxx3.(3)y′＝12·1xlnx＋x·1x＝2＋lnx2x.10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋14在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________．解析：由f(x)＝x3＋ax＋14得，f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝14，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－14＝ax.设直线y－14＝ax与曲线g(x)＝－lnx相切于点(x0，－lnx0)，g′(x)＝－1x，所以－lnx0－14＝ax0，①a＝－1x0.②将②代入①得lnx0＝34，所以x0＝e34，所以a＝－1e34＝－e34.答案：－e342．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.