（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十）对数与对数函数（理）（含解析）

课时跟踪检测（十）对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·淮安调研)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为________．解析：由3x－1＞0，解得x＞13，所以函数f(x)的定义域为13，＋∞.答案：13，＋∞2．函数f(x)＝log3(x2－2x＋10)的值域为________．解析：令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9≥9，故函数f(x)可化为y＝log3t，t≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log39＝2，故f(x)的值域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)3．计算log23log34＋(3)3log4＝________.解析：log23log34＋(3)3log4＝lg3lg2·2lg2lg3＋331log42＝2＋33log2＝2＋2＝4.答案：44．(2019·长沙调研)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________.解析：∵函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，将x＝－2，y＝－1代入f(x)＝3x＋b，得3－2＋b＝－1，∴b＝－109，∴f(x)＝3x－109，则f(log32)＝33log2－109＝2－109＝89.答案：895．若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x＞2(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解析：当x≤2时，y＝－x＋6≥4.因为f(x)的值域为[4，＋∞)，所以当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，所以loga2≥1，所以1＜a≤2；当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．故a∈(1,2]．答案：(1,2]6．(2018·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析：当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1，f(x)＜0，即log2(－x)－1＜0，解得－2＜x＜0；当x＞0时，f(x)＝1－log2x，f(x)＜0，即1－log2x＜0，解得x＞2，综上，不等式f(x)＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·镇江中学调研)函数y＝log2x＋log2(4－x)的值域为________．解析：由题意知，x＞0且4－x＞0，∴f(x)的定义域是(0,4)．∵函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]，∴0＜x(4－x)≤x＋－x22＝4，当且仅当x＝2时等号成立．∴log2[x(4－x)]≤2，∴函数y＝log2x＋log2(4－x)的值域为(－∞，2]．答案：(－∞，2]2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f(x)＝lg1－a2x的定义域是12，＋∞，则实数a的值为________．解析：因为函数f(x)＝lg1－a2x的定义域是12，＋∞，所以当x＞12时，1－a2x＞0，即a2x＜1，所以a＜2x，所以x＞log2a.令log2a＝12，得a＝212＝2，所以实数a的值为2.答案：23．若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g＞0，a≥1，即2－a＞0，a≥1，解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．答案：[1,2)4．(2019·连云港模拟)已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝12，则f(－a)＝________.解析：因为f(x)＝lg1－x1＋x的定义域为－1＜x＜1，所以f(－x)＝lg1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(－a)＝－f(a)＝－12.答案：－125．函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为__________．解析：由4－|x|≥0，x2－5x＋6x－3＞0，得－4≤x≤4，x＞2且x≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：(2,3)∪(3,4]6．(2018·苏州调研)若函数f(x)＝－x＋8，x≤2，logax＋5，x＞2(a＞0，且a≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解析：当x≤2时，f(x)∈[6，＋∞)，所以当x＞2时，f(x)的取值集合A⊆[6，＋∞)．当0＜a＜1时，A＝()－∞，loga2＋5，不符合题意；当a＞1时，A＝(loga2＋5，＋∞)，若A⊆[6，＋∞)，则有loga2＋5≥6，解得1＜a≤2.答案：(1,2]7．函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为______．解析：依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋122－14≥－14，当且仅当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－14.答案：－148．设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12－x，x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．解析：由f(a)＞f(－a)得a＞0，log2a＞log12a或a＜0，log12－a＞log2－a，即a＞0，log2a＞－log2a或a＜0，－log2－a＞log2－a解得a＞1或－1＜a＜0.答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝log12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log12(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log12x，x＞0，0，x＝0，log12－x，x＜0.(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|＜4，解得－5＜x＜5，即不等式的解集为(－5，5)．10．(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)若不等式f(x)≤c恒成立，求实数c的取值范围．解：(1)因为f(1)＝2，所以2loga2＝2，故a＝2，所以f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)，要使函数f(x)有意义，需有1＋x＞0，3－x＞0，解得－1＜x＜3，所以f(x)的定义域为(－1,3)．(2)由(1)知，f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2(－x2＋2x＋3)＝log2[－(x－1)2＋4]，故当x＝1时，f(x)有最大值2，所以c的取值范围是[2，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南京五校联考)已知函数f(x)＝x2＋ex－12(x＜0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)，若函数f(x)图象上存在点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是________．解析：设点P(x0，y0)(x0＜0)，则点P关于y轴的对称点Q(－x0，y0)在函数g(x)的图象上，所以y0＝x20＋ex0－12，y0＝－x02＋－x0＋a，消去y0，可得x20＋ex0－12＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，所以ex0－12＝ln(－x0＋a)(x0＜0)．令m(x)＝ex－12(x＜0)，n(x)＝ln(a－x)(x＜0)，问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象在x＜0时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象如图所示．当n(x)＝ln(a－x)的图象过点0，12时，a＝e.由图可知，当a＜e时，函数m(x)与函数n(x)的图象在x＜0时有交点．故a的取值范围为(－∞，e)．答案：(－∞，e)2．(2018·昆山测试)已知函数f(x)＝lgkx－1x－1(k∈R)．(1)当k＝0时，求函数f(x)的值域；(2)当k＞0时，求函数f(x)的定义域；(3)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．解：(1)当k＝0时，f(x)＝lg11－x，定义域为(－∞，1)．因为函数y＝11－x(x＜1)的值域为(0，＋∞)，所以f(x)＝lg11－x的值域为R.(2)因为k＞0，所以关于x的不等式kx－1x－1＞0⇔(x－1)(kx－1)＞0⇔(x－1)x－1k＞0.(*)①若0＜k＜1，则1k＞1，不等式(*)的解为x＜1或x＞1k；②若k＝1，则不等式(*)即(x－1)2＞0，其解为x≠1；③若k＞1，则1k＜1，不等式(*)的解为x＜1k或x＞1.综上，当0＜k≤1时，函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪1k，＋∞；当k＞1时，函数f(x)的定义域为－∞，1k∪(1，＋∞)．(3)令g(x)＝kx－1x－1，则f(x)＝lgg(x)．因为函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10＞1，所以当x∈[10，＋∞)时，g(x)＞0，且函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．而g(x)＝kx－1x－1＝kx－＋k－1x－1＝k＋k－1x－1，若k－1≥0，则函数g(x)在[10，＋∞)上不是单调增函数；若k－1＜0，则函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．所以k＜1.①因为函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，所以要使当x∈[10，＋∞)时，g(x)＞0，必须g(10)＞0，即10k－110－1＞0，解得k＞110.②综合①②知，实数k的取值范围是110，1.