（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（三十六）空间几何体的表面积与体积 文（含解析）

课时跟踪检测（三十六）空间几何体的表面积与体积一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州高三年级期中考试)各棱长都为2的正四棱锥的体积为________．解析：由题意得，底面对角线长为22，所以正四棱锥的高为22－22＝2，所以正四棱锥的体积V＝13Sh＝13×22×2＝423.答案：4232．(2018·苏锡常镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2＝3π，则S1S2的值为________．解析：法一：由题意知V1＝a3，S1＝6a2，V2＝13πr3，S2＝2πr2，由V1V2＝3π得a313πr3＝3π，得a＝r，从而S1S2＝32π.法二：不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54.如图所示，又V2＝13h×πr2＝13πr3＝9π，即r＝3，所以l＝2r，即S2＝12l×2πr＝2πr2＝92π，所以S1S2＝5492π＝32π.答案：32π3．(2018·南京二模)如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A­A1EF的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝23，从而三棱锥A­A1EF的体积VA­A1EF＝VE­A1AF＝13S△A1AF·BH＝13×12×6×4×23＝83.答案：834．(2018·海安期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O­A1BC1的体积为________．解析：连结AC，因为几何体是正方体，所以BO⊥平面A1OC1，BO是三棱锥B­A1OC1的高，则三棱锥O­A1BC1的体积为13×12×22×2×2＝43.答案：435．(2018·盐城模拟)若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×1×l＝3π×12，解得l＝3，则h＝32－12＝22，故该圆锥的体积V＝13π×12×22＝22π3.答案：22π36．(2018·苏锡常镇一调)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．解析：四棱锥P­AA1C1C可看作：半个正方体割去三棱锥P­ABC和P­A1B1C1.所以VP­AA1C1C＝12VABCD­A1B1C1D1－VP­ABC－VP­A1B1C1＝12－112－112＝13.答案：13二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·扬州模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.答案：72．(2018·常州期中)如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．解析：设孔的半径为r，∵此正六棱柱的底边长为4，高为3，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴2×πr2＝2πr×3，解得r＝3，∴孔的半径为3.答案：33．(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S1＝2πrh＝2πr2.圆锥的母线l＝h2＋r2＝2r，故圆锥的侧面积为S2＝12×2πr×l＝2πr2，所以S2∶S1＝2∶2.答案：224．(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V＝2×13π×22×2＝16π3.答案：16π35．(2018·泰州中学高三学情调研)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B­PQD的体积为________．解析：如图，连结PQ，则PQ∥AC，取PQ的中点G，连结BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG＝G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝5，PG＝2，可得BG＝3，同理可得DG＝3，则△BDG边BD上的高为32－22＝1，所以S△BDG＝12×22×1＝2，则VB­PQD＝13×2×22＝43.答案：436．(2019·盐城检测)有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为________．解析：由已知可得球的体积为V＝43π×43＝256π3.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为8πr2＋83πr2＝256π3，解得r＝22.答案：227．(2018·启东调研)如图，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BD＝2，ED＝210，若M为ED的中点，则VM­ACB＝________.解析：如图，过D作DH⊥CE于H，则BC＝DH，在Rt△EDH中，由ED＝210，EH＝EC－DB＝2，得BC＝DH＝6，所以在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，所以AC＝8，即S△ABC＝24，又因为CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，M为ED的中点，所以M到平面ABC的距离为3，所以VM­ACB＝13S△ABC×3＝24.答案：248．(2018·连云港调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为22，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝52，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.答案：25π9．(2018·苏州期末)如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则V2V1＝________.解析：设圆锥与圆柱的底面面积为S，高为h，所以V1＝Sh，V2＝Sh－13Sh＝23Sh，则V2V1＝23.答案：2310．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝3r，PC＝3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝13π×AC2×PC＝13π(3r)2×3r＝3πr3.V球＝43πr3.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水＝13π×EH2×PH＝13π(PHtan30°)2PH＝19πx3.又V水＝V圆锥－V球，则19πx3＝3πr3－43πr3，解得x＝315r.故球取出后，容器内水深为315r.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝1232＋42＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.答案：1322．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．解析：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝r2＋d2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.答案：8π3．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)该几何体的体积．(2)截面ABC的面积．解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝22＋－2＝5，BC＝22＋－2＝5，AC＝22＋－2＝23.则S△ABC＝12×23×52－32＝6.