（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（三十）等比数列 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（三十）等比数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东中学检测)已知等比数列{an}的公比q＝－12，则a1＋a3＋a5a2＋a4＋a6＝________.解析：a1＋a3＋a5a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5qa1＋a3＋a5＝a1＋a3＋a5－12a1＋a3＋a5＝－2.答案：－22．(2018·盐城期中)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则a9＋a10＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则a3＋a4＝q2(a1＋a2)，所以q2＝2，所以a9＋a10＝q8(a1＋a2)＝16.答案：163．(2018·苏州期末)设各项均为正数的等比数列{}an的前n项和为Sn，已知a2＝6，a3－3a1＝12，则S5＝________.解析：∵a2＝6，a3－3a1＝12，∴a1q＝6，a1q2－3a1＝12且q＞0，解得a1＝2，q＝3，∴S5＝－351－3＝242.答案：2424．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________.解析：由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，所以a2＝2，所以q2＝a4a2＝4，所以a6＝a4q2＝32.答案：325．(2019·南京一模)若等比数列{}an的前n项和为Sn，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________．解析：设等比数列{}an的公比为q，因为a1＝1，S6＝3S3，当q＝1时，不满足S6＝3S3；当q≠1时，可得q6－1q－1＝q3－q－1，化简得q3＋1＝3，即q3＝2，所以a7＝a1q6＝4.答案：46．(2018·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝49，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则a7＋a8＋a99的值为________．解析：a1＋a2＝a1＋q＝49，a3＋a4＋a5＋a6＝a1q2＋q3＋q4＋q5＝40，两式相除可得q2＋q4＝90，即q2＝－10(舍)或q2＝9.又an＞0，所以q＝3，故a1＝19，所以a7＋a8＋a9＝34＋35＋36＝1053，即a7＋a8＋a99＝117.答案：117二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·徐州期末)设等比数列{}an的公比为q，前n项和为Sn，若S2是S3与S4的等差中项，则实数q的值为________．解析：∵S2是S3与S4的等差中项，∴2S2＝S3＋S4，∴2a3＋a4＝0，解得q＝－2.答案：－22．(2019·如皋模拟)已知数列{}an是正项等比数列，满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2，则log2(a51＋a52＋a53＋a54＋a55)＝________.解析：∵log2an＋1＝1＋log2an，∴log2an＋1an＝1，可得q＝2.∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2，∴log2(a51＋a52＋a53＋a54＋a55)＝log2[(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)q50]＝log2251＝51.答案：513．设等比数列{}an的公比为q(0＜q＜1)，前n项和为Sn.若存在m∈N*，使得am＋am＋2＝52am＋1，且Sm＝1022am＋1，则m的值为________．解析：∵am＋am＋2＝52am＋1，Sm＝1022am＋1，∴a1qm－1＋a1qm＋1＝52a1qm，a1－qm1－q＝1022a1qm，解得m＝9，q＝12.答案：94．(2018·启东检测)数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ＝________.解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.因为数列{an－1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：25．(2019·姜堰模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3S6＝2728，则a5a3＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3S6＝2728，得q≠1，a1－q31－qa1－q61－q＝2728，化简得11＋q3＝2728，解得q＝13.所以a5a3＝q2＝19.答案：196．(2018·海安中学测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m＝________.解析：由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a2m＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5.答案：57．已知数列{an}中，a1＝2，且a2n＋1an＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________.解析：由已知，得a2n＋1＝4anan＋1－4a2n，即a2n＋1－4anan＋1＋4a2n＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝－291－2＝210－2＝1022.答案：10228．(2019·徐州调研)已知正项等比数列{}an的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________．解析：因为S8－2S4＝6，所以S8－S4＝S4＋6.由等比数列的性质可得，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋2S4＝S4＋36S4＋12≥24，当且仅当S4＝6时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.答案：249．在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有a1＝1，a1＋3d2＝a1＋da1＋7d，解得d＝1或d＝0(舍去)，所以an＝1＋(n－1)＝n.(2)由(1)得an＝n，所以bn＝2n，所以bn＋1bn＝2，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn＝－2n1－2＝2n＋1－2.10．(2018·苏州高三期中调研)已知数列{an}各项均为正数，a1＝1，a2＝2，且anan＋3＝an＋1an＋2对任意n∈N*恒成立，记{an}的前n项和为Sn.(1)若a3＝3，求a5的值；(2)证明：对任意正实数p，{a2n＋pa2n－1}成等比数列；(3)是否存在正实数t，使得数列{Sn＋t}为等比数列．若存在，求出此时an和Sn的表达式；若不存在，说明理由．解：(1)因为a1a4＝a2a3，所以a4＝6，又因为a2a5＝a3a4，所以a5＝32a4＝9.(2)证明：由anan＋3＝an＋1an＋2，an＋1an＋4＝an＋2an＋3，两式相乘得anan＋1an＋3an＋4＝an＋1a2n＋2an＋3，因为an＞0，所以anan＋4＝a2n＋2(n∈N*)，从而{an}的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q1，q2，则a2n＝a2qn－12＝2qn－12，a2n－1＝a1qn－11＝qn－11，又因为an＋3an＋2＝an＋1an，所以a4a3＝a2a1＝2＝2q2q1，即q1＝q2，设q1＝q2＝q，则a2n＋pa2n－1＝q(a2n－2＋pa2n－3)，且a2n＋pa2n－1＞0恒成立，所以数列{a2n＋pa2n－1}是首项为2＋p，公比为q的等比数列．(3)法一：在(2)中令p＝1，则数列{a2n＋a2n－1}是首项为3，公比为q的等比数列，所以S2k＝(a2k＋a2k－1)＋(a2k－2＋a2k－3)＋…＋(a2＋a1)＝3k，q＝1，－qk1－q，q≠1，S2k－1＝S2k－a2k＝3k－2qk－1，q＝1，－qk1－q－2qk－1，q≠1，且S1＝1，S2＝3，S3＝3＋q，S4＝3＋3q，因为数列{Sn＋t}为等比数列，所以S2＋t2＝S1＋tS3＋t，S3＋t2＝S2＋tS4＋t，即＋t2＝＋t＋q＋t，＋q＋t2＝＋t＋3q＋t，即2t＋6＝q＋t，t＝q－3，解得t＝1，q＝4或t＝－3，q＝0(舍去)．所以S2k＝4k－1＝22k－1，S2k－1＝22k－1－1，从而对任意n∈N*有Sn＝2n－1，此时Sn＋t＝2n，Sn＋tSn－1＋t＝2为常数，满足{Sn＋t}成等比数列，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，又a1＝1，所以an＝2n－1(n∈N*)，综上，存在t＝1使数列{Sn＋t}为等比数列，此时an＝2n－1，Sn＝2n－1(n∈N*)．法二：由(2)知a2n＝2qn－1，a2n－1＝qn－1，且S1＝1，S2＝3，S3＝3＋q，S4＝3＋3q，因为数列{Sn＋t}为等比数列，所以S2＋t2＝S1＋tS3＋t，S3＋t2＝S2＋tS4＋t，即＋t2＝＋t＋q＋t，＋q＋t2＝＋t＋3q＋t，即2t＋6＝q＋t，t＝q－3，解得t＝1，q＝4或t＝3，q＝0(舍去)．所以a2n＝2qn－1＝22n－1，a2n－1＝22n－2，从而对任意n∈N*有an＝2n－1，所以Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1＝1－2n1－2＝2n－1，此时Sn＋t＝2n，Sn＋tSn－1＋t＝2为常数，满足{Sn＋t}成等比数列，综上，存在t＝1使数列{Sn＋t}为等比数列，此时an＝2n－1，Sn＝2n－1(n∈N*).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝a2a1＝a3a2，∴32≤q≤2，a4＝a3q≥92，a4＝a2q2≤8，∴a4∈92，8.答案：92，82．(2018·泰州中学高三学情调研)设正项等比数列{an}满足2a5＝a3－a4，若存在两项an，am，使得a1＝4an·am，则m＋n＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q.正项等比数列{an}满足2a5＝a3－a4，则2a3q2＝a3(1－q)，可得2q2＋q－1＝0，q＞0，解得q＝12，若存在两项an，am，使得a1＝4an·am，可得a1＝4a2112m＋n－2，所以m＋n＝6.答案：63．(2019·苏锡常镇调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ＞0.设bn＝an3n(n∈N*)．(1)若λ＝3，求数列{}bn的通项公式；(2)若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋2λ－3·3n(n∈N*)，证明数列{}cn是等比数列；(3)若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．解：因为Sn＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*，所以当n≥2时，Sn＝λSn－1＋3n，从而an＋1＝λan＋2·3n，n≥2，n∈N*﹒在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中，令n＝1，可得a2＝λa1＋2×31，满足上式，所以an＋1＝λan＋2·3n，n∈N*.(1)当λ＝3时，an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*，从而an＋13n＋1＝an3n＋23，即bn＋1－bn＝23，又b1＝a13＝1，所以数列{}bn是首项为1，公差为23的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)×23＝2n＋13.(2)证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，cn＝an＋2λ－3·3n＝λan－1＋2·3n－1＋2λ－3·3n＝λan－1＋2λ－3·3n－1(λ－3＋3)＝λan－1＋2λ－3·3n－1＝λ·cn－1，又c1＝3＋6λ－3＝λ－λ－3≠0，所以{}cn是首项为λ－λ－3，公比为λ的等比数列，故cn＝λ