（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理（

课时跟踪检测（二十一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·无锡调研)已知sin(α＋30°)＝35，60°＜α＜150°，则cosα＝________.解析：∵60°＜α＜150°，∴90°＜α＋30°＜180°，∵sin(α＋30°)＝35，∴cos(α＋30°)＝－1－sin2α＋＝－45，∴cosα＝cos[(α＋30°)－30°]＝cos(α＋30°)cos30°＋sin(α＋30°)sin30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－43102．若2sinθ＋π3＝3sin(π－θ)，则tanθ＝________.解析：由已知得sinθ＋3cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝3cosθ，所以tanθ＝32.答案：323．(2018·苏锡常镇调研)若tanα＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－tanα＋α－β1－tanαα－β＝－12－131－12×－13＝－17.答案：－174．(2019·泰州调研)已知α∈(0，π)，sinα＋π4＝－35，则tanα＝________.解析：因为α∈(0，π)，sinα＋π4＝－35，所以α＋π4∈π，5π4，所以cosα＋π4＝－1－sin2α＋π4＝－45，所以tanα＋π4＝sinα＋π4cosα＋π4＝34＝1＋tanα1－tanα，所以tanα＝－17.答案：－175．(2018·常州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin2θ＋π2＝________.解析：cos(θ＋π)＝－13，所以cosθ＝13，sin2θ＋π2＝cos2θ＝2cos2θ－1＝－79.答案：－796．(2018·江苏太湖高级中学检测)设sinα＝2cosα，则tan2α的值为________．解析：由题可知，tanα＝sinαcosα＝2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43.答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡一中检测)已知sinx＋π6＝13，则sin5π6－x＋tan2π3－x＝________.解析：∵sinx＋π6＝13，∴cos2x＋π6＝1－sin2x＋π6＝89，且sin5π6－x＝sinπ－x＋π6＝sinx＋π6＝13，∴sin5π6－x＋tan2π3－x＝13＋sin2π3－xcos2π3－x＝13＋cos2x＋π6sin2x＋π6＝13＋8919＝253.答案：2532．(2018·苏州暑假测试)已知α∈0，π2，β∈π2，π，cosα＝13，sin(α＋β)＝－35，则cosβ＝________.解析：因为α∈0，π2，cosα＝13，所以sinα＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cosβ＝cos[]α＋β－α＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×13－35×223＝－4＋6215.答案：－4＋62153．已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝________.解析：由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.答案：17184．(2018·通州模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tanα＋π4＝13，则sinα＝________.解析：∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tanα＝m2，再根据tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝m2＋11－m2＝13，∴m＝－1，故x＝2，y＝－1，r＝|OP|＝4＋m2＝5，则sinα＝yr＝－15＝－55.答案：－555．已知sinα－π4＝7210，cos2α＝725，则sinα＝________.解析：由sinα－π4＝7210得sinα－cosα＝75.①由cos2α＝725得cos2α－sin2α＝725，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝725.②由①②可得cosα＋sinα＝－15.③由①③可得sinα＝35.答案：356．(2019·如东模拟)已知α∈0，π2，且2cosα＝cosπ2－α，则sin2α的值为________．解析：∵α∈0，π2，且2cosα＝cosπ2－α＝sinα，∴tanα＝2，则sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.答案：457．(2019·启东模拟)若sinα＋cosα＝233，则cos2α－π4＝________.解析：由sinα＋cosα＝233，可得sin2α＝13，故cos2α－π4＝cos2α－π2＋12＝sin2α＋12＝23.答案：238．(2018·苏锡常镇调研)已知sinα＝3sinα＋π6，则tanα＋π12＝________.解析：由题意可得sinα＋π12－π12＝3sinα＋π12＋π12，即sinα＋π12cosπ12－cosα＋π12sinπ12＝3sinα＋π12·cosπ12＋3cosα＋π12sinπ12，所以tanα＋π12＝－2tanπ12＝－2tanπ3－π4＝－23－21＋3＝23－4.答案：23－49.(2019·南京调研)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，点A在弧PQ上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C.记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.(1)求l关于θ的函数关系式；(2)当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．解：(1)在Rt△OAB中，∵OA＝1，∠AOB＝θ，∴OB＝cosθ，AB＝sinθ.在Rt△OAC中，∵∠POQ＝π3，∴∠AOC＝π3－θ，∴OC＝cosπ3－θ，AC＝sinπ3－θ.∴l＝sinθ＋cosθ＋sinπ3－θ＋cosπ3－θ＝sinθ＋cosθ＋32cosθ－12sinθ＋12cosθ＋32sinθ＝3＋12sinθ＋3＋32cosθ＝(3＋1)12sinθ＋32cosθ＝(3＋1)sinθ＋π3，θ∈0，π3.(2)由(1)知，l＝(3＋1)sinθ＋π3，∵θ∈0，π3，∴θ＋π3∈π3，2π3，∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，l取得最大值3＋1.10．(2018·盐城调研)已知函数f(x)＝sinx＋π12，x∈R.(1)求f－π4的值；(2)若cosθ＝45，θ∈0，π2，求f2θ－π3的值．解：(1)f－π4＝sin－π4＋π12＝sin－π6＝－12.(2)f2θ－π3＝sin2θ－π3＋π12＝sin2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)．因为cosθ＝45，θ∈0，π2，所以sinθ＝35，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2425，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝725，所以f2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×2425－725＝17250.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知cosπ2＋α＝3sinα＋7π6，则tanπ12＋α＝________.解析：由cosπ2＋α＝3sinα＋7π6＝－3sinα＋π6，得sinα＝3sinα＋π6，∴sinα＋π12－π12＝3sinα＋π12＋π12，展开得sinα＋π12cosπ12－cosα＋π12sinπ12＝3sinα＋π12cosπ12＋3cosα＋π12sinπ12，即－2sinα＋π12cosπ12＝4cosα＋π12sinπ12，∴tanα＋π12＝－2tanπ12.又tanπ12＝tanπ3－π4＝tanπ3－tanπ41＋tanπ3tanπ4＝2－3，∴tanα＋π12＝－2(2－3)＝23－4.答案：23－42．(2018·苏北四市一模)若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：因为tanβ＝2tanα，所以sinβcosβ＝2sinαcosα，即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又因为cosαsinβ＝23，所以sinαcosβ＝13，从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13－23＝－13.答案：－133．(2019·海门中学检测)已知cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．解：(1)cosπ6＋αcosπ3－α＝cosπ6＋αsinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，即sin2α＋π3＝－12.因为α∈π3，π2，所以2α＋π3∈π，4π3，所以cos2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12.(2)因为α∈π3，π2，所以2α∈2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，所以cos2α＝－32.所以tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.