（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十）函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其应

课时跟踪检测（二十）函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．y＝2sin2x－π4的初相为________．答案：－π42．函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为________．解析：最小正周期为T＝2π12＝4π.答案：4π3．(2018·苏州高三期中调研)函数y＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2图象的一条对称轴是x＝π12，则φ＝________.解析：当x＝π12时，函数y＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2取得最值，所以π6＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋π3，k∈Z，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.答案：π34．已知函数f(x)＝sin12x＋φ||φ＜π2，x＝π3为f(x)的图象的一条对称轴，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为________．解析：∵x＝π3为f(x)的图象的一条对称轴，∴π6＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ＋π3，k∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin12x＋π3.将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到g(x)＝sin12x＋π6＋π3＝sinx2＋5π12的图象．答案：g(x)＝sinx2＋5π125．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则fπ6＝________.解析：由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f(x)＝tan2x.所以fπ6＝tanπ3＝3.答案：36．(2018·启东中学检测)在函数y＝－2sin4x＋2π3的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．解析：当y＝0时，sin4x＋2π3＝0，所以4x＋2π3＝kπ，k∈Z，所以x＝k4π－π6，k∈Z，取k＝0，则x＝－π6，取k＝1，则x＝π12，所以离原点最近的交点坐标π12，0.答案：π12，0二保高考，全练题型做到高考达标1．振动量y＝2sin(ωx＋φ)的频率为32，则ω＝________.解析：因为y＝2sin(ωx＋φ)的频率为32，所以其周期T＝23，所以ω＝2π23＝3π.答案：3π2．(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．解析：将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度，得到函数y＝sin2x－2φ＋π3的图象．∵平移后得到的图象经过坐标原点，且0＜φ＜π2，∴－2φ＋π3＝0，解得φ＝π6.答案：π63.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.解析：由图可知，T2＝π3－－π6＝π2，则T＝π，ω＝2，又因为－π6＋π32＝π12，所以f(x)的图象过点π12，1，即sin2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.而x1＋x2＝－π6＋π3＝π6，所以f(x1＋x2)＝fπ6＝sin2×π6＋π3＝sin2π3＝32.答案：324．(2019·启东中学检测)将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)＝2sin2x＋π3＋φ＝2sin2x＋2π3＋φ的图象．∵g(x)是偶函数，∴2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，∴φ＝－π6＋kπ，k∈Z.又φ＜0，∴φ的最大值是－π6.答案：－π65.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.解析：由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝π2，所以f(x)＝－3sinπ2x，所以f(1)＝－3.答案：－36．若函数f(x)＝3sinωx－π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则fπ3＝________.解析：由f(x)＝3sinωx－π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以fπ3＝3sin4×π3－π3＝0.答案：07．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的值域是________．解析：f(x)＝3sinωx－π6＝3cosπ2－ωx－π6＝3cosωx－2π3，易知ω＝2，则f(x)＝3sin2x－π6，因为x∈0，π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6，所以－32≤f(x)≤3.答案：－32，38．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．解析：因为f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，即fπ6＝sinπ3＋φ＝1，所以φ＝kπ＋π6(k∈Z)．因为fπ2＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sinφ＜0，所以φ＝－5π6＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin2x－5π6，所以由三角函数的单调性知2x－5π6∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，解得x∈kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．答案：kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)9．(2019·连云港调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，点Pπ6，2为其图象上一个最高点．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)图象上所有点都向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间π2，π上的值域．解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.又点Pπ6，2为其图象上一个最高点，所以A＝2，sinπ3＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)由题意得g(x)＝fx＋π3＝2sin2x＋π3＋π6＝2sin2x＋5π6，当x∈π2，π时，2x＋5π6∈11π6，17π6，所以sin2x＋5π6∈－12，1，2sin2x＋5π6∈(－1,2]，故g(x)在区间π2，π上的值域为(－1,2]．10．已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋3cos2ωx－32(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间0，π2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解：(1)f(x)＝12sin2ωx＋32(2cos2ωx－1)＝12sin2ωx＋32cos2ωx＝sin2ωx＋π3，由题意知，最小正周期T＝2×π4＝π2，T＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f(x)＝sin4x＋π3.(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y＝sin4x－π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x－π6的图象，所以g(x)＝sin2x－π6.令2x－π6＝t，若0≤x≤π2，则－π6≤t≤5π6.因为g(x)＋k＝0在区间0，π2上有且只有一个实数解，即函数y＝sint与y＝－k在区间－π6，5π6上有且只有一个交点，作出函数y＝sint的图象如图所示．由正弦函数的图象可知－12≤－k＜12或－k＝1.所以－12＜k≤12或k＝－1.所以实数k的取值范围为－12，12∪{－1}．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f(x)＝2sin2x－π3－1在区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b－a的最小值为________．解析：要使b－a最小，则f(x)在区间[a，b]上零点个数恰好是10，由函数f(x)的图象可知，一个周期内只有2个零点，且两个零点之间的最小间隔为π3，所以满足条件的b－a的最小值为π3＋4π＝13π3.答案：13π32.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)t≥0，ω＞0，|φ|＜π2.则下列叙述正确的是________．①R＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；④当t＝20时，|PA|＝63.解析：①由点A(33，－3)，可得R＝6，由旋转一周用时60秒，可得T＝2πω＝60，则ω＝π30，由点A(33，－3)，可得∠AOx＝π6，则φ＝－π6，故①正确；②由①知，f(t)＝6sinπ30t－π6，当t∈[35,55]时，π30t－π6∈π，5π3，即当π30t－π6＝3π2时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；③当t∈[10,25]时，π30t－π6∈π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；④f(t)＝6sinπ30t－π6，当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝2π3，所以|PA|＝63，故④正确．答案：①②④3.(2019·如皋中学模拟)如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈(0，π))，x∈[－4,0]的图象，图象的最高点为B(－1,2)．边界的中间部分为长1km的直线段CD，且CD∥EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE.(1)求曲线段FGBC的函数表达式；(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF的最近距离为1km，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO的长；(3)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区O