（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数（理）（含解析）

课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·清河中学检测)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝________.解析：由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.答案：322．(2019·连云港调研)若函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上为增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝a－1，f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上为增函数，∴对称轴x＝a－1≥4，∴a≥5.答案：[5，＋∞)3．(2018·淮阴模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为________．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)．答案：f(m)＜f(0)4．已知函数f(x)＝x2＋x＋m，若|f(x)|在区间[0,1]上单调，则实数m的取值范围为________．解析：因为f(x)＝x2＋x＋m，且|f(x)|在区间[0,1]上单调，所以f(x)在[0,1]上满足f(0)·f(1)≥0，即m(1＋1＋m)≥0，解得m≥0或m≤－2.答案：(－∞，－2]∪[0，＋∞)5．若二次函数f(x)＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t＝________.解析：由于f(x)＝－x2＋4x＋t＝－(x－2)2＋t＋4图象的顶点在x轴上，所以f(2)＝t＋4＝0，所以t＝－4.答案：－46．(2019·杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为________．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4.故a的取值集合为{－3,3}．答案：{－3,3}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·海安中学检测)已知幂函数f(x)＝xα，其中α∈－2，－1，12，1，2，3.则使f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的取值集合为________．解析：若幂函数f(x)为奇函数，则α＝－1,1,3，又f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以α的取值集合为{1,3}．答案：{1,3}2．(2019·武汉调研)已知幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．解析：∵幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，∴m2－4m＜0，解得0＜m＜4.又m∈Z，∴m＝1或m＝2或m＝3.当m＝1时，f(x)＝x－3，图象不关于y轴对称；当m＝2时，f(x)＝x－4，图象关于y轴对称；当m＝3时，f(x)＝x－3，图象不关于y轴对称．综上，m的值为2.答案：23．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．解析：不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.答案：(－∞，－2)4．(2018·泰州中学调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2－2x＋1，不等式f(x2－3)＞f(2x)的解集为________．解析：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0，当x＜0时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2为减函数，则当x＞0时，f(x)也为减函数，综上可得f(x)在R上为减函数，若f(x2－3)＞f(2x)，则有x2－3＜2x，解得－1＜x＜3，即不等式f(x2－3)＞f(2x)的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)5．若函数f(x)＝xα2－2α－3(常数α∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α的值为________．解析：根据幂函数的性质，要使函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α2－2α－3为偶数，且α2－2α－3＜0，解不等式可得－1＜α＜3.因为α∈Z，所以α＝0,1,2.当α＝0时，α2－2α－3＝－3，不满足条件；当α＝1时，α2－2α－3＝－4，满足条件；当α＝2时，α2－2α－3＝－3，不满足条件，所以α＝1.答案：16．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则m的取值范围是________．解析：二次函数图象的对称轴为x＝32，且f32＝－254，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈32，3.答案：32，37．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________．解析：由题意可得5－a＞0，Δ＝36－－aa＋＜0，解得－4＜a＜4.答案：(－4,4)8．(2019·南通一调)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.答案：89．已知幂函数f(x)＝x21()mm－＋(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，所以函数f(x)＝x21()mm－＋(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，2)，所以2＝221()mm－＋，即212＝221()mm－＋，所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x12.又因为f(2－a)＞f(a－1)，所以2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a－1，解得1≤a＜32，故函数f(x)的图象经过点(2，2)时，m＝1.满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为1，32.10．(2019·启东检测)已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈13，12恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]．又已知值域为[1，a]，所以fa＝a2－2a2＋5＝1，f＝1－2a＋5＝a，解得a＝2.(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－12x2＋52x≤a≤12x2＋52x.(*)令1x＝t，t∈[2,3]，则(*)可化为－12t2＋52t≤a≤12t2＋52t.记g(t)＝－12t2＋52t＝－12t－522＋258，则g(t)max＝g52＝258，所以a≥258；记h(t)＝12t2＋52t＝12t＋522－258，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，258≤a≤7.所以实数a的取值范围是258，7.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·金陵中学期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”．若f(x)＝13x3－x2－x与g(x)＝2x＋b的“关联区间”是[－3,0]，则b的取值范围是________．解析：由题意设m(x)＝f(x)－g(x)＝13x3－x2－3x－b，则m′(x)＝x2－2x－3，由m′(x)＝0，得m＝－1或m＝3.∵f(x)与g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，∴x＝－1是函数m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．要使m(x)＝f(x)－g(x)在[－3,0]上有两个不同的零点，则m，m－＞0，m－，即－b≤0，53－b＞0，－9－b≤0，解得0≤b＜53，故b的取值范围是0，53.答案：0，532．(2019·泰州中学检测)已知函数f(x)＝x2＋(x－1)·|x－a|.(1)若a＝－1，求满足f(x)＝1的x的取值集合；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a＜1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，有f(x)＝2x2－1，x≥－1，1，x＜－1.当x≥－1时，令2x2－1＝1，解得x＝1或x＝－1；当x＜－1时，f(x)＝1恒成立，∴x的取值集合为{x|x≤－1或x＝1}．(2)f(x)＝2x2－a＋x＋a，x≥a，a＋x－a，x＜a，若f(x)在R上单调递增，且f(x)是连续的，则有a＋14≤a，a＋1＞0，解得a≥13，即实数a的取值范围是13，＋∞.(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，则g(x)＝2x2－a＋x＋a＋3，x≥a，a－x－a＋3，x＜a.若不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立，则当x＜a时，∵a＜1，∴g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)．∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞2，∴g(x)≥0恒成立．当x≥a时，∵a＜1，∴a＜a＋34，∴g(x)min＝ga＋34＝a＋3－a＋28≥0，得－3≤a≤5.∵a＜1，∴－3≤a＜1，综上，a的取值范围是[－3,1)．