（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 板块命题点专练（三）基本初等函数（Ⅰ）及函数与方程 文（含解

板块命题点专练(三)基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程命题点一基本初等函数(Ⅰ)1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则2x,3y,5z的大小关系为________．解析：设2x＝3y＝5z＝k＞1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝2logk2－3logk3＝2logk3－3logk2logk2·logk3＝logk32－logk23logk2·logk3＝logk98logk2·logk3＞0，所以2x＞3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝3logk3－5logk5＝3logk5－5logk3logk3·logk5＝logk53－logk35logk3·logk5＝logk125243logk3·logk5＜0，所以3y＜5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝2logk2－5logk5＝2logk5－5logk2logk2·logk5＝logk52－logk25logk2·logk5＝logk2532logk2·logk5＜0，所以5z＞2x.所以5z＞2x＞3y.答案：5z＞2x＞3y2．(2018·天津高考改编)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵c＝log1315＝log35，a＝log372，又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，∴log35＞log372＞log33＝1，∴c＞a＞1.∵y＝14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴1413＜140＝1，即b＜1.∴c＞a＞b.答案：c＞a＞b3．(2015·江苏高考)不等式22xx－＜4的解集为________．解析：因为2x2－x＜4，所以22xx－＜22，所以x2－x＜2，即x2－x－2＜0，所以－1＜x＜2.答案：(－1,2)4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即a＝1.答案：15．(2018·上海高考)已知常数a＞0，函数f(x)＝2x2x＋ax的图象经过点Pp，65，Qq，－15，若2p＋q＝36pq，则a＝________.解析：因为函数f(x)的图象经过点Pp，65，Qq，－15，所以f(p)＋f(q)＝2p2p＋ap＋2q2q＋aq＝2p＋q＋aq2p＋2p＋q＋ap2q2p＋q＋aq2p＋ap2q＋a2pq＝65－15＝1，化简得2p＋q＝a2pq.因为2p＋q＝36pq，所以a2＝36且a＞0，所以a＝6.答案：66．(2016·江苏高考)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)．(1)设a＝2，b＝12.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．解：(1)因为a＝2，b＝12，所以f(x)＝2x＋2－x.①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.②由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，所以m≤fx2＋4fx对于x∈R恒成立．而fx2＋4fx＝f(x)＋4fx≥2fx4fx＝4，且f2＋4f＝4，所以m≤4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．因为g′(x)＝axlna＋bxlnb，又由0＜a＜1，b＞1知lna＜0，lnb＞0，所以g′(x)＝0有唯一解x0＝logba－lnalnb.令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，从而对任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)＜g′(x0)＝0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．下证x0＝0.若x0＜0，则x0＜x02＜0，于是gx02＜g(0)＝0.又g(loga2)＝aalog2＋balog2－2＞aalog2－2＝0，且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0＜a＜1，所以loga2＜0.又x02＜0，所以x1＜0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．若x0＞0，同理可得，在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．因此，x0＝0.于是－lnalnb＝1，故lna＋lnb＝0，所以ab＝1.7．(2016·上海高考)已知a∈R，函数f(x)＝log21x＋a.(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；(3)设a＞0，若对任意t∈12，1，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．解：(1)由log21x＋5＞0，得1x＋5＞1，解得x∈－∞，－14∪(0，＋∞)．(2)由原方程可得1x＋a＝(a－4)x＋2a－5，即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0.①当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意．②当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意．③当a≠3且a≠4时，x1＝1a－4，x2＝－1，x1≠x2.若x1是原方程的解，则1x1＋a＞0，即a＞2；若x2是原方程的解，则1x2＋a＞0，即a＞1.由题意知x1，x2只有一个为方程的解，所以a＞2，a≤1或a≤2，a＞1，于是满足题意的a∈(1,2]．综上，a的取值范围为(1,2]∪{3,4}．(3)易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．f(t)－f(t＋1)＝log21t＋a－log21t＋1＋a≤1，即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈12，1恒成立．因为a＞0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间12，1上单调递增，当t＝12时，y有最小值34a－12.由34a－12≥0，得a≥23.故a的取值范围为23，＋∞.命题点二函数与方程1.(2017·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝x2，x∈D，x，x∉D，其中集合D＝xx＝n－1n，n∈N*，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是________．解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x＜10的情况，在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝qp，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．若lgx∈Q，则由lgx∈(0,1)，可设lgx＝nm，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，因此10nm＝qp，则10n＝qpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx∉Q，故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，且x＝1处(lgx)′＝1xln10＝1ln10＜1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lgx＝0的解的个数为8.答案：82．(2015·江苏高考)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．解析：①当0＜x≤1时，方程为－lnx＝1，解得x＝1e.②当1＜x＜2时，f(x)＋g(x)＝lnx＋2－x2单调递减，值域为(ln2－2,1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．③当x≥2时，f(x)＋g(x)＝lnx＋x2－6单调递增，值域为[ln2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根．答案：43．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)4．(2018·天津高考)已知a＞0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x＞0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．解析：法一：作出函数f(x)的大致图象如图所示．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．由y＝ax，y＝－x2＋2ax－2a，消去y，整理得x2－ax＋2a＝0.由Δ＝a2－8a＝0，得a＝8(a＝0舍去)．由y＝ax，y＝x2＋2ax＋a，消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上可得a的取值范围是(4,8)．法二：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝－x2－ax，x≤0，－x2＋ax，x＞0.作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－a24＋a22＝a24，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜a24＜2a，解得4＜a＜8.答案：(4,8)命题点三函数模型及其应用1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则x＋y＋z＝100，5x＋3y＋13z＝100，当z＝81时，x＝__________，y＝__________.解析：由题意，得x＋y＋81＝100，5x＋3y＋13×81＝100，即x＋y＝19，5x＋3y＝73，解得x＝8，y＝11.答案：8112．(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为