（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 板块命题点专练（六）简单的三角恒等变换及解三角形 文（含解析

板块命题点专练(六)简单的三角恒等变换及解三角形命题点一简单的三角恒等变换1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.解析：tanα－5π4＝tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.答案：322．(2015·江苏高考)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tanα1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.答案：33．(2017·江苏高考)若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解析：tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：754．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－125．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sinα＝13，则cos2α＝________.解析：∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.答案：796．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝45，C＝π4.(1)求AB的长；(2)求cosA－π6的值．解：(1)因为cosB＝45，0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝1－452＝35.由正弦定理知ACsinB＝ABsinC，所以AB＝AC·sinCsinB＝6×2235＝52.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cosB＋π4＝－cosBcosπ4＋sinBsinπ4.又cosB＝45，sinB＝35，故cosA＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A＜π，所以sinA＝1－cos2A＝7210.因此，cosA－π6＝cosAcosπ6＋sinAsinπ6＝－210×32＋7210×12＝72－620.7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝sinαcosα＝43，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.命题点二解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析：如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴12ac·sin120°＝12c×1×sin60°＋12a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴1a＋1c＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝ca＋4ac＋5≥2ca·4ac＋5＝9，当且仅当ca＝4ac，即c＝2a时取等号．故4a＋c的最小值为9.答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝__________，c＝________.解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝ba·sinA＝27×32＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：21733．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝12.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc＞0，∴cosA＝32，bc＝4cosA＝833，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.答案：2334．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－17.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解：(1)在△ABC中，因为cosB＝－17，所以sinB＝1－cos2B＝437.由正弦定理得sinA＝asinBb＝32.由题设知π2＜∠B＜π，所以0＜∠A＜π2.所以∠A＝π3.(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32×－17＋12×437＝3314，所以AC边上的高为asinC＝7×3314＝332.5．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsinC＝BCsinA，所以sinC＝ABBC·sinA＝2sin60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2×217×277＝437.6．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又因为bsinA＝acosB－π6，所以asinB＝acosB－π6，即sinB＝32cosB＋12sinB，所以tanB＝3.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为a＜c，所以cosA＝27.所以sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．命题点三三角综合问题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx＜12时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当cosx＞12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴当cosx＝12时，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.答案：－3322．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB.因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.3．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求∠B的大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值．解：(1)由余弦定理及题设得，cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又因为0＜∠B＜π，所以∠B＝π4.(2)由(1)知∠A＋∠C＝3π4.则2cosA＋cosC＝2cosA＋cos3π4－A＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22cosA＋22sinA＝cosA－π4.因为0＜∠A＜3π4，所以当∠A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1.