（江苏专版）2019届高三数学 备考冲刺140分 问题02 函数中存在性与恒成立问题（含解析）

问题02函数中存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1)设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2)对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．(4)利用分离参数法来确定不等式,0fx,（Dx,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求fx在xD上的最大（或最小）值；【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期测试】函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是____.【解析】的定义域为，且，为奇函数，且在上单调递增，由得，，，，①时，，②时，，的最小值为1，，实数的取值范围是，故答案为.(二)分离参数法【例2】已知函数的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a的值；(2)若2()fxkx对任意0x成立,求实数k的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点ex处的切线的斜率为3,可知'(e)3f,可建立关于a的方程：,从而解得1a；（2）要使2()fxkx对任意0x恒成立,只需即可,而由（1）可知,∴问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数()gx的单调性,从而求得其最值：,令'()0gx,解得1x,当01x时,'()0gx,∴()gx在(0,1)上是增函数；当1x时,'()0gx,∴()gx在(1,)上是减函数,因此()gx在1x处取得最大值(1)1g,∴1k即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数fx满足:当0x时,3fxx,若不等式对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是.【答案】,2(五)存在性之常用模型及方法【例5】设函数,aR且1a.曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率为0.（1）求b的值；（2）若存在1,x,使得,求a的取值范围.【分析】（1）根据条件曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a,b的方程,进而求得b的值：,；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求()fx的单调性进而求得()fx的最小值,进而得到关于a的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断()fx的单调性,从而可以解得a的取值范围是.【解析】（1）,由曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率为0,得10f,②当112a时,11aa,x1,1aa1aa,1aafx0fx极小值,不合题意,无解,10分③当1a时,显然有()0fx,01aa,∴不等式恒成立,符合题意,综上,a的取值范围是.6．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数,若存在唯一的整数x,使得成立,则实数a的取值范围为__________．【答案】0,23,87．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在x∈R,使得34xa﹣≥22xx（a＞0且a≠1）成立,则实数a的取值范围是_____．【答案】2a或902a且1.a.【解析】,∴（3x﹣4）,当3x﹣4=0即4x3时,故舍去当3x﹣40即4x3时,,令t=3x﹣4＞0,,所以2loga≥1．所以a≥2．当3x﹣40即4x3时,令t=3x﹣40,219loga，所以a92综上,a≥2或0＜a92且a≠1．14．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数（a为常数,e=2．718…）,且函数处的切线和处的切线互相平行．（1）求常数a的值；（2）若存在x使不等式成立,求实数m的取值范围．【答案】（1）1a；（2）(,0)．【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问,先利用导数求出函数()yfx在0x处的切线的斜率011ke,再求出函数函数()ygx在xa处的切线的斜率21ka,根据题意列出等式,解出a的值；第二问,先将转化为,构造函数,利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到m的取值范围．（2）可化为,令,则,因为0x,所以,,故()0hx,所以()hx在(0,)上是减函数,因此,所以,实数m的取值范围是(,0)；16.【江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中】已知函数，直线是曲线的一条切线．（1）求实数a的值；（2）若对任意的x(0，)，都有，求整数k的最大值．【解析】（2）令F(x)＝f(x)－k(x－1)，则根据题意，等价于F(x)＞0对任意的正数x恒成立.F′(x)＝lnx＋2－k，令F′(x)＝0，则x＝ek－2.当0＜x＜ek－2，则F′(x)＜0，F(x)在（0，ek－2）上单减；当x＞ek－2，则F′(x)＞0，F(x)在（ek－2，＋∞）上单增.所以有F(x)＝F(ek－2)＞0，即ek－2－k－1＜0.当k＝3，容易验证，ek－2－k－1＜0；下证：当k≥4，ek－2－k－1＞0成立.