（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练三十四 7.2 二元一次不等式（组）与简单的

核心素养提升练三十四二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列各点中,与点(2,2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是()A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,-3)【解析】选C.点(2,2)使x+y-10,点(-1,3)使x+y-10,所以此两点位于x+y-1=0的同一侧.2.不等式组所表示的平面区域的面积为()A.1B.C.D.【解析】选D.作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知xB=1,xC=2.由得yD=,所以S△BCD=×(xC-xB)×=.3.(2017·北京高考)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9【解析】选D.线性约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示,将z=x+2y转化为y=-x+,由直线l:y=-x平移可知,当直线y=-x+过点A时,z=x+2y的值最大,由解得A(3,3),所以zmax=3+2×3=9.4.(2018·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45【解析】选C.在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以及直线l:3x+5y=0,平移直线l,可知:当直线l过点C(2,3)时,z取得最大值为3×2+5×3=21.5.若变量x,y满足约束条件则z=(x-1)2+y2的最大值为()A.4B.C.17D.16【解析】选C.z=(x-1)2+y2表示可行域内的点(x,y)与点P(1,0)间距离的平方.画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大,因此zmax=(2-1)2+42=17.【变式备选】(2018·枣庄模拟)已知实数x,y满足约束条件则ω=的最小值是()A.-2B.2C.-1D.1【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图(不包括y轴),ω=的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(0,-1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点D(1,0)时,直线AP的斜率最小,此时ω=的最小值为=1.6.(2019·南昌模拟)设变量x,y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为()A.10B.8C.6D.4【解析】选B.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.当平移直线x-3y=0过点A时,m=x-3y取最大值;当平移直线x-3y=0过点C时,m=x-3y取最小值.由题意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以mmax=-2-3×(-2)=4,mmin=-2-3×2=-8,所以-8≤m≤4,所以|m|≤8,即zmax=8.7.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=x-1下方,也就是m-m-1,即m-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________.【解析】x+1≤y≤2x,等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z,直线越往下,z越小,z越小,由得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.答案:39.(2018·全国卷Ⅲ)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是________.【解析】作出可行域由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值3.答案:310.(2018·广州模拟)已知x,y满足约束条件若z=x-ay(a0)的最大值为4,则a=________.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则A(2,0),B(-2,-2).显然直线z=x-ay过A时不能取得最大值4.若直线z=x-ay过点B时取得最大值4,则-2+2a=4,解得a=3,此时,目标函数为z=x-3y,作出直线x-3y=0,平移该直线,当直线经过点B时,截距最小,此时,z的最大值为4,满足条件.答案:3(15分钟30分)1.(5分)若实数x,y满足且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为()A.1B.2C.D.3【解析】选D.作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示,由图可知z=2x+y在点A处取得最小值,且由解得所以A(1,2).又由题意可知点A在直线y=-x+b上,所以2=-1+b,解得b=3.2.(5分)(2018·广州模拟)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是()A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元【解析】选C.设该公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最大值,由得B(4,4),满足题意,所以zmax=4×300+4×400=2800(元).3.(5分)(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系中,不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z=的最小值为____________.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意,知πr2=π,解得r=2.z==1+,表示可行域内的点与点P(-3,2)连线的斜率加上1,由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,则有=2,解得k=-或k=0(舍去),所以zmin=1-=-.答案:-【变式备选】已知实数x,y满足条件则z=的最小值为________.【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.目标函数z==表示可行域内一点与点(2,0)连线的斜率,可知过点(2,0)作半圆的切线,切线的斜率为z=的最小值,设切线方程为y=k(x-2),则A到切线的距离为1,故1=,解得k=.答案:4.(15分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.(2)分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.【解析】(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整数点.(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.【变式备选】投资人制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,一投资人打算投资甲、乙两项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%,可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元.设甲、乙两个项目投资额分别为x,y万元.(1)写出x,y满足的约束条件.(2)求可能盈利的最大值(单位:万元).【解析】(1)x,y满足的约束条件为(2)设目标函数z=0.5x+0.4y,上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平移直线l0:0.5x+0.4y=0,当经过点M时,z=0.5x+0.4y取得最大值.解方程组得x=4,y=6.此时zmax=0.5×4+0.4×6=4.4(万元).