（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练六十一 12.2 排列与组合 理（含解析）新

核心素养提升练六十一排列与组合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人.考虑到义工与老人住处距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,安排方法共有()A.30种B.40种C.42种D.48种【解析】选C.当B照顾老人甲时,有=24种安排方法;当B照顾老人丙时,有=18种安排方法,所以一共有42种安排方法.2.(2018·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.72B.56C.49D.28【解析】选C.分两类:甲、乙中只有1人入选且丙没有入选,甲、乙均入选且丙没有入选,计算可得所求选法种数为+=49.3.(2019·长沙模拟)《中国诗词大会》亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.因为前四场播出后反响很好,所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有()A.144种B.48种C.36种D.72种【解析】选C.将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有=6种排法,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排),有=6种排法,则后六场的排法有6×6=36(种).【变式备选】(2018·广元模拟)在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种【解析】选C.根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有=2种结果,又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看成一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有=48种结果,根据分步乘法计数原理知共有2×48=96种结果.4.在大桥上有12个固定的哨位,但平时只派9人执勤,规定两端的哨位必须有人执勤,也不能让相邻哨位都空岗,则不同的安排哨位方法有()A.种B.种C.种D.种【解析】选A.将3个空岗插入9个实岗的8个空隙之间,有种插法,每一种插法都对应着一种排岗方法,因此一共有种排岗方法.误区警示:解答本题容易错误地去考虑执勤人员的顺序.实际上,“空岗”“实岗”的相对位置是区别不同排岗的关键所在,与岗位上执勤人员是谁无关.5.某校开设10门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是()A.70B.98C.108D.120【解析】选B.共可分为两类:选A,B,C中的一门,其他7门中选两门,有=63;不选A,B,C,其他7门中选三门,有=35;所以共有98种.6.集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9},从集合A,B中各取一个数,能组成________个没有重复数字的两位数()A.52B.58C.64D.70【解析】选B.属于A但不属于B的数有2个,属于B但不属于A的数有4个,既属于A又属于B的数有3个,于是,从A,B中各取一个数组成没有重复数字的两位数共有:(·+·+·+)·=58.7.某校的A,B,C,D四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且A,B不选修同一门课,则不同的选法有()A.36种B.72种C.30种D.66种【解析】选C.从A,B,C,D四位同学中选出2个作为一个整体,4个人就变成了三个,所有的选法有=6种,从中去掉A,B作为一个整体的情况,还有5种情况.这三人从三门选修课中各选一门,共有种方法.根据分步乘法计数原理,不同的选法有5×=30种.二、填空题(每小题5分,共15分)8.现有8本杂志,其中有3本是完全相同的文学杂志,还有5本是互不相同的数学杂志,从这8本里选取3本,则不同选法的种数为____.【解析】若选取的三本书没有数学杂志,有1种选法;若选取的三本书有1本数学杂志,有=5种选法;若选取的三本书有2本数学杂志,有=10种选法;若选取的三本书有3本数学杂志,有=10种选法.故不同选法的种数为26.答案:269.一天的课表有六节,其中上午4节,下午2节,要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理6节课,要求上午第一节不安排体育课,数学课必须安排在上午,微机必须安排在下午,则有________种不同的排课方法.【解析】可以考虑分两种情况讨论,第一种情况,上午第一节安排数学,微机安排在下午共有=48种排法;第二种情况,上午第一节课不安排数学,也不能安排体育和微机,则这节课只有3种排法,数学只能安排在上午2,3,4节课,微机安排在下午,故共有3=108种排法.所以一共有156种排法.答案:156【变式备选】(2018·武汉模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为________.【解析】不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1=×=72(种),女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2=×=12(种),所以出场顺序的排法种数为N=N1-N2=60.答案:6010.(2018·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)【解析】先从除了甲乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有=12种,最后再选出一人和刚才的三人排列得:12×=120.答案:120(20分钟40分)1.(5分)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种【解析】选B.第一步,为甲展区选一名志愿者,有=6种选法,第二步,为乙展区选一名志愿者,有=5种选法,第三步,为剩下两个展区各安排两名志愿者,有=6种选法,故不同的安排方案共有6×5×6=180种.2.(5分)如图所示,在排成4×4方阵的16个点中,中心位置4个点在某圆内,其余12个点在圆外.从16个点中任选3点,作为三角形的顶点,其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有()A.60个B.132个C.248个D.312个【解析】选D.根据题意,分3种情况讨论:①取出的3个点都在圆内,有=4种取法,即有4种取法,②在圆内取2点,圆外12点中取1点,有=60种,即有60种取法,③在圆内取1点,圆外12点中取2点,有(-4)=248种,即有248种取法,则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312(个).【变式备选】如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形个数为()A.30B.42C.54D.56【解析】选B.分类完成.在O,A1,A2,A3,A4这5个点中取2个,在B1,B2,B3中取1个,有个三角形;在B1,B2,B3中取2个,在A1,A2,A3,A4中取1个,有个三角形,故共有+=42个.3.(5分)某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班主任,则共有________种不同的安排方法.(用数字作答).【解析】若数学老师分到B,C两班,共有=8种分法,若数学老师分到B,D两班,共有=8种分法,若数学老师分到B,E两班,共有=4种分法,若数学老师分到C,D两班,共有=4种分法,若数学老师分到C,E两班,共有=4种分法,若数学老师分到D,E两班,共有=4种分法,共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法.答案:32【变式备选】甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________.【解析】由题意知本题需要分类解决,因为对于7个台阶上每一个只站一人有种;若有一个台阶有2人另一个是1人共有种,所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是+=336(种).答案:3364.(12分)如表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?学校专业112212312【解析】填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并排列,共有种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有··种.综合以上两步,由分步乘法计数原理得不同的填表方法有:···=5184种.5.(13分)已知集合A={x|1log2x3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?【解析】由1log2x3,得2x8,又x∈N*,所以x为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成=120个三位数.(2)若从集合A中取元素3,则3不能作千位上的数字,有··=180个满足题意的自然数;若不从集合A中取元素3,则有=384个满足题意的自然数.所以,满足题意的自然数共有180+384=564个.