（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练六十三 12.4 随机事件的概率 理（含解析

核心素养提升练六十三随机事件的概率(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列事件是随机事件的是()①当x≥10时,lgx≥1;②当x∈R,x2-1=0有解;③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解;④当sinαsinβ时,αβ.A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选C.①当x≥10时,lgx≥1,属于确定事件;②当x∈R,x2-1=0有解,解得x=±1,属于确定事件;③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解,需要根据a的值确定是否有解,属于随机事件;④当sinαsinβ时,αβ,属于随机事件.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【解析】选D.A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.3.一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件【解析】选D.由于事件A与B可能同时发生,故不互斥,则选项A错,B也错,而B与C事件不能同时发生,且B∪C为必然事件,故事件B与事件C对立.4.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,估计该生的身高在155.5～170.5cm之间的概率约为()A.B.C.D.【解析】选A.从已知数据可以看出,在随机抽取的这20名学生中,身高在155.5～170.5cm之间的学生有8人,频率为,故可估计在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,其身高在155.5～170.5cm之间的概率约为.5.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中射中8环以下的概率为()A.0.90B.0.30C.0.60D.0.40【解析】选D.依题意,射中8环及8环以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故射中8环以下的概率为1-0.60=0.40.6.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.B.C.D.1【解析】选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.7.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A.0.20B.0.60C.0.80D.0.12【解析】选C.记“能乘上所需要的车”为事件A,则3路或6路车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.二、填空题(每小题5分,共15分)8.容量为20的样本数据,分组后的频数如表.分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为________.【解析】数据落在区间[10,40)的频率为==0.45.答案:0.459.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.答案:10.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________.【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=+=.记事件A为“至少取得一个红球”,事件B为“取得两个绿球”,事件A与事件B是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-=.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2019·襄阳模拟)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对【解析】选A.由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件.【误区警示】研究对立事件要全面准确.如本题中还有可能“丙向南”、“丁向南”,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件2.(5分)(2018·石家庄模拟)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条或第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%,现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为()A.5B.3C.1D.4【解析】选B.由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.【变式备选】袋中装有大小形状完全相同的红、白小球共15个,小明随机从袋中摸出一个小球,小球为红色的概率为,则袋中白球的个数为()A.5B.6C.9D.10【解析】选D.由对立事件的概率公式知,摸出一个小球为白色的概率为1-=,白球个数为×15=10.3.(5分)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,他至少参加2个小组的概率是________,他至多参加2个小组的概率为________.【解析】记恰好参加2个小组为事件A,恰好参加3个小组为事件B,随机选一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=++=,恰好参加3个小组的概率P(B)==,则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=+=,至多参加2个小组的概率为1-P(B)=1-=.答案:4.(12分)某校在高三抽取了500名学生,记录了他们选修A,B,C三门课的情况,如表所示.科目学生人数ABC120是否是60否否是70是是否50是是是150否是是50是否否(1)试估计该校高三学生在A,B,C三门选修课中同时选修两门课的概率.(2)若某高三学生已选修A门课,则该学生同时选修B,C中哪门课的可能性大?【解析】(1)由频率估计概率得所求概率P==0.68.(2)若某学生已选修A门课,则该学生同时选修B门课的概率为P==,选修C门课的概率为P==,因为,所以该学生同时选修C门课的可能性大.【变式备选】(2015·陕西高考)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,在4月份任选一天,西安市不下雨的概率是.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.5.(13分)某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查.这1000名购物者2017年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为:[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如图所示.电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如表.购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放优惠券金额50100150200(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数.(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.【解析】(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如表:x0.3≤x0.50.5≤x0.60.6≤x0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为50×0.4+100×0.3+150×0.28+200×0.02=96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y=150)=P(0.6≤x0.8)=0.28,P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02,从而,获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3.【变式备选】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.【解析】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个.所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=.所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.