（贵阳专用）2019中考数学总复习 第二部分 热点专题解读 专题三 与直角三角形相关的探究及应用针对

1第二部分专题三1．求下列各式的值：(1)a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＝(c＋b)(c－b)和4c－5b＝0，求cosA＋cosB的值；(2)已知A为锐角，且tanA＝3，求sin2A＋2sinAcosA＋cos2A的值．解：(1)由a2＝(c＋b)(c－b)，得c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.由4c－5b＝0，得bc＝45，∴cosA＝bc＝45，cosB＝ac＝35，∴cosA＋cosB＝75.(2)∵tanA＝3，∴∠A＝60°，∴原式＝(32)2＋2×32×12＋(12)2＝32＋1.2．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的长；(结果保留根号)(2)已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：(1)由题意得在Rt△ADC中，tan30°＝CDAD＝24AD，解得AD＝243.在Rt△BDC中，tan60°＝CDBD＝24BD，解得BD＝83.∴AB＝AD－BD＝243－83＝163(米)．(2)∵校车从A到B用时2秒，2∴校车的速度为163÷2＝83≈13.8(米/秒)．∵13.8米/秒＝49.68千米/小时＞45千米/小时，∴这辆校车超速．3．在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°.已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．(3≈1.73，2≈1.41)解：∵∠CFE＝30°，∠CGE＝60°，∴∠FCG＝30°，∴GC＝FG＝50米，∴sin60°＝CECG＝32，即CE50＝32，∴CE＝253米，∴CD＝CE＋DE＝253＋1.5≈44.75(米)．答：古塔的高度约为44.75米．4．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝30°，∠CDE＝45°，DE＝80cm，AC＝180cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝45°，DE＝80cm，∴CD＝80×cos45°＝80×22＝402(cm)．答：支架CD的长为402cm.(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝180cm，∴OC＝AC·tan30°＝180×33＝603(cm)，3∴OD＝OC－CD＝(603－402)cm，∴AB＝AO－OB＝AO－OD＝603×2－(603－402)＝(603＋402)cm.答：真空热水管AB的长为(603＋402)cm.5．(2018·梧州)随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布，为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG＝27m，GF＝17.6m(注：C，G，F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F)，斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°，求瀑布AB的高度．(参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)解：如答图，过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N.在Rt△CMD中，∵CD＝20m，∠DCM＝40°，∠CMD＝90°，∴CM＝CD·cos40°≈15.4(m)，DM＝CD·sin40°≈12.8(m)，∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF＝60(m)．在Rt△BDN中，∵∠BDN＝10°，∠BND＝90°，DN＝60m，∴BN＝DN·tan10°≈10.8(m)．在Rt△ADN中，∵∠ADN＝30°，∠AND＝90°，DN＝60m，∴AN＝DN·tan30°≈34.6(m)．∴AB＝AN＋BN＝45.4(m)．答：瀑布AB的高度约为45.4m.6．(2018·泸州)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)4解：由题意知，BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90m，在Rt△ADE中，tan30°＝ADAE，sin30°＝ADDE，∴AE＝AD33＝3AD，DE＝2AD．在Rt△BCE中，tan60°＝BCBE，sin60°＝BCCE，∴BE＝BC3＝23AD，CE＝23BC3＝43AD．∵AE＋BE＝AB＝90m，∴3AD＋23AD＝90，∴AD＝103m，∴DE＝203m，CE＝120m.∵∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，∴∠DEC＝90°，∴CD＝DE2＋CE2＝15600＝2039m.答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为2039m.