（广西专用）2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第三章 函数 第15讲 二次函数

1第一部分第三章第15讲命题点1二次函数的实际应用(2018年贺州考，2015年3考)1．(2018·贺州17题3分)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为＋＋＋__25__－－－元．2．(2015·玉林、防城港24题9分)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示．(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y＝kx＋b，∵图象经过点(20,20)，(30,0)，∴20k＋b＝20，30k＋b＝0，解得k＝－2，b＝60.∴y关于x的函数关系式为y＝－2x＋60.(2)设销售利润为P，则P＝(x－10)y＝(x－10)(－2x＋60)＝－2x2＋80x－600.∵a＝－2＜0，∴P有最大值，当x＝－80－2×2＝20时，P有最大值，P最大值＝200.答：当销售价为20元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润为200元．命题点2二次函数的综合应用(2018年9考，2017年7考，2016年11考)3．(2018·贵港12题3分)如图，抛物线y＝14(x＋2)(x－8)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是(B)A．1B．22C．3D．44．(2017·北部湾经济区12题3分)如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝x24(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则S△OFBS△EAD的值为(D)A．26B．24C．14D．165．(2018·梧州26题12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－92与x轴交于A(1,0)，B(6,0)两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2)若E点在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为S△ADOS△AEF＝19，求出点E的坐标；(3)若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点，是否存在点D，使DA2＝DM·DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－92经过点A(1,0)，B(6,0)，∴将A(1,0)，B(6,0)分别代入，得a＋b－92＝0，36a＋6b－92＝0，解得a＝－34，b＝214.∴抛物线的解析式为y＝－34x2＋214x－92.(2)∵EF⊥x轴，∴∠AFE＝90°.∵∠AOD＝∠AFE＝90°，又∵∠OAD＝∠FAE，3∴△AOD∽△AFE.∵S△ADOS△AEF＝(AOAF)2＝19，∴OAAF＝13，∵A(1,0)，∴AO＝1，∴AF＝3，OF＝3＋1＝4，∴点E的横坐标为4.当x＝4时，y＝－34×42＋214×4－92＝92，∴点E的坐标是(4，92)．(3)存在点D，使DA2＝DM·DN.理由如下：设点D的坐标为(0，h)，M(x1，h)，N(x2，h)．在Rt△ADO中，DA2＝OD2＋OA2＝h2＋1.易得直线DN的解析式为y＝h，联立得y＝－34x2＋214x－92，y＝h，整理，得3x2－21x＋18＋4h＝0，根据根与系数的关系，得x1x2＝18＋4h3，①当0x1x2时，DM＝|x1|＝x1，DN＝|x2|＝x2，∴DM·DN＝x1·x2＝18＋4h3.当DA2＝DM·DN时，有h2＋1＝18＋4h3，解得h1＝3，h2＝－53.②当x10x2时，DM＝|x1|＝－x1，DN＝|x2|＝x2，∴DM·DN＝－x1·x2＝－18＋4h3.当DA2＝DM·DN时，有h2＋1＝－18＋4h3.∴3h2＋4h＋21＝0，b2－4ac＝42－4×3×210，∴方程无解．综上所述，点D的坐标为(0,3)或(0，－53)．6．(2018·柳州26题10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于4点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14AQ＋EQ的最小值．解：(1)由题意，得A(3，0)，B(－33，0)，C(0，－3)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋33)(x－3)，把C(0，－3)代入得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2＋233x－3.(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝OCOA＝3，∴∠OAC＝60°.∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA·tan30°＝3×33＝1，∴D(0，－1)，设直线AD的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，将点A(3，0)，D(0，－1)代入，得3k＋t＝0，t＝－1，解得k＝33，t＝－1，∴直线AD的解析式为y＝33x－1.由题意知P(m，13m2＋233m－3)，H(m，33m－1)，F(m,0)，∵FH＝PH，∴1－33m＝33m－1－(13m2＋233m－3)，解得m＝－3或3(舍去)，5∴当FH＝HP时，m的值为－3.(3)如答图，连接HC.∵PF是对称轴，∴F(－3，0)，H(－3，－2)．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝3OA＝3，∴E(0,3)．∵C(0，－3)，∴HC＝32＋12＝2，AH＝2FH＝4，∴QH＝12CH＝1，在HA上取一点K，使得HK＝14，此时K(－738，－158)．∵HQ2＝1，HK·HA＝1，∴HQ2＝HK·HA，可得△QHK∽△AHQ，∴KQAQ＝HQAH＝14，∴KQ＝14AQ，∴14AQ＋QE＝KQ＋EQ，∴当E，Q，K三点共线时，14AQ＋QE的值最小，最小值为7382＋＋1582＝4174.7．(2018·北部湾经济区26题10分)如图，抛物线y＝ax2－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A(－3,0)，C(0,4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；(3)试求出AM＋AN的最小值.6解：(1)把A(－3,0)，C(0,4)代入y＝ax2－5ax＋c，得9a＋15a＋c＝0，c＝4，解得a＝－16，c＝4，∴抛物线的解析式为y＝－16x2＋56x＋4.∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B(3,0)．∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x＝3时，y＝－16×9＋56×3＋4＝5，∴D点坐标为(3,5)．(2)在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝32＋42＝5，设M(0，m)，则CM＝BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1，∵∠MCN＝∠OCB，∴当CMCO＝CNCB时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即4－m4＝m＋15，解得m＝169，此时M点坐标为(0，169)．当CMCB＝CNCO时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即4－m5＝m＋14，解得m＝119，此时M点坐标为(0，119)．综上所述，点M的坐标为(0，169)或(0，119)．(3)连接DN，AD，如答图，∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO＝∠BCO.∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC.∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN，∴△ACM≌△DBN，7∴AM＝DN，∴AM＋AN＝DN＋AN，而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，N，D共线时取等号)，∴DN＋AN的最小值＝62＋52＝61，∴AM＋AN的最小值为61.8．(2018·玉林26题12分)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA(O为坐标原点)．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m.(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；(2)当m为何值时，△MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由；(3)求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．解：(1)当y＝c时，有c＝－x2＋bx＋c，解得x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为(0，c)，点P的坐标为(b，c)．∵直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,3)，∴OB＝3，OA＝1，BC＝c－3，CP＝b.∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB.∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为(3,4)，抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.(2)当y＝0时，有－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴点F的坐标为(4,0)．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如答图1所示．∵点M的横坐标为m(0≤m≤4)，∴点M的坐标为(m，－m2＋3m＋4)，点E的坐标为(m，－3m＋3)，∴ME＝－m2＋3m＋4－(－3m＋3)＝－m2＋6m＋1，∴S＝12OA·ME＝－12m2＋3m＋12＝－12(m8－3)2＋5.∵－12＜0,0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为12；当m＝3时，S取最大值，最大值为5.(3)如答图2①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C，M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为(0,4)；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA.设点D的坐标为(n,0)，则DO＝n，DP＝n－2＋－2，∴n2＝(n－3)2＋16，解得n＝256，∴点D的坐标为(256，0)．设直线PD的解析式为y＝kx＋a(k≠0)，将P(3,4)，D(256，0)代入y＝kx＋a，得3k＋a＝4，256k＋a＝0，解得k＝－247，a＝1007.∴直线PD的解析式为y＝－247x＋1007.联立直线PD及抛物线的解析式，得y＝－247x＋1007，y＝－x2＋3x＋4，解得x1＝3，y1＝4，x2＝247，y2＝12449.∴点M的坐标为(247，12449)．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为(0,4)或(247，12449)．