12秩亏自由网平差

上节内容误差椭圆1)点位误差计算方法；2）任意方向（φ、ψ）位差的计算方法；3）误差曲线、误差椭圆的概念，椭圆参数的计算；4）误差曲线与误差椭圆间的关系，误差椭圆的应用；4）相对误差椭圆的概念、参数的计算。一、我们需要（已）掌握的程度：对于任一个平差问题，能够用所学过的四（五）种平差方法分别求解，即：求平差值以及精度评定。当然，实践中，具体该用哪种方法进行平差，完全取决于具体的问题以及计算工具。（常用间接平差和附有限制条件的间接平差。）二、本课程的任务为：求平差值；精度评定（包括点位精度的各种表示方法）。三、五种平差方法的共性和特性。第十二章秩亏自由网平差本节内容：秩亏自由网平差的提出；秩亏自由网平差原理；秩亏自由网平差的基准条件。一、问题的提出自由网：当控制网中仅含有必要的起算数据时，通常称为自由网（说明）。附合网：当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据的网，称为附合网。自由网平差方法分为：经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等，一般为自由网。1、经典自由网平差例：选定x3的高程为已知，则可列出误差方程为：1112223310ˆ11ˆ01vlxvlxvl法方程：系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异，方程有唯一解：121232ˆ210ˆ12llxllx121232ˆ21ˆ12llxllx经典平差法的条件：是在控制网中必需设定（或已有）足够的坐标起算数据；如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据，则称为经典自由网平差。也可先设定各点的高程为参数，但取x3的已知高程为近似值，即。（即设一点的高程为已知）其函数模型为：这就成为附有条件的间接平差了。3ˆ0x1112223333ˆ101ˆ110ˆ011ˆ0vxlvxlvxlx2、秩亏自由网平差如果不设起始已知高程，设网中全部待定点为参数，则误差方程为：111222333ˆ101ˆ110ˆ011vxlvxlvxl组法方程：法方程系数阵：可见，系数阵是一个奇异阵，方程有无穷多组解。（原因是B不为列满秩阵，称B秩亏。）产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起算数据个数。秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数，d=R‘（B）-R（B）=必要起算数据（R‘（B）是B的列满秩数，R（B）是实际秩数。）211121112TBPBˆ0TTBPBxBPl如何合理解算这类平差问题，就是本节要讨论的秩亏自由网平差问题。秩亏自由网平差：如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。思考：在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数相等？水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网的秩亏数各是多少？二、秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的函数模型为相应的误差方程为随机模型为111ˆˆnnuunLBXdˆVBxl22100LLDQP方法之一：直接解法ˆminˆ0TTVBxlVPVNxBPl1）按最小二乘原则组法方程：（N的行列式等于零，法方程有无穷多组解。）2）为确定唯一解，在最小二乘原则下再附加另外的条件：（而这条件应保证所求的的平差值是最优的，称为最小范数条件。）ˆˆminTxx求最小范数的法方程解即求下列数学解：组新函数，得：ˆ0ˆˆminTTNXBPLXXˆ()TXNNNBPLˆ2()min2200()(0)()TTTTTTTTTXXKNXBPLXKNXNKNKNNKBPBKNNBPBNNXNNNBPB解：解为：精度估计参数估值的协因数阵：单位权方差估值仍为：ˆˆ()()()()TXXQNNNBPQPBNNNNNNNNNNN20ˆ()TTVPVVPVnRAnr广义逆矩阵的概念一、广义逆A-1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列矩阵方程的A-定义为A的广义逆2、广义逆A-的计算A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。A是列满秩时A是行满秩时A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。nmmnnmnmAAAA11()TTLAAAA11()TTRAAAA降阶法求广义逆：•在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇异方阵的广义逆A-。•可见A-不唯一。•例如：•可以验证：11111001123211011111,0101110010000ARAdAAA，（），AAAA值得说明的是：1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆（NN）-代入直接解公式后，求得的X向量却是相同的，故X有唯一解！2）以上解法又称为“直接解法”。二、广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆）1、定义：满足下列四个条件，即2、A+的计算当A为对称方阵时：()()TTAAAAAAAAAAAAAAAA()()AAAAAAAA秩亏自由网平差解法二：附加条件法由于网中没有起算数据，平差中多选了d个参数，因此，若在U个参数之间适当给定d个附加约束条件（基准条件），即在原平差函树模型中附加入d个参数间的限制条件方程，从而可使秩亏平差问题化为附有限制条件的间接平差问题。•网的基准：必要的起算数据称之为网的基准。•d个基准条件形式为：1ˆ0TduuSx一、基础方程及其解•则函数模型是•按附有限制条件的间接平差解算：按最小二乘原则，作函数得法方程为1ˆˆ0TduuVBxlSxˆ2()minTTTVPVKSxˆˆ0TTTBPBxSKBPlSx法方程写成：可解出参数改正数。或者：ˆTTTxBPBSBPlKSOO1ˆ()TTTxBPBSSBPl二）精度评定单位权方差估值参数的协因数为参数平差值函数0ˆ()TTVPVVPVntnud11ˆˆ()()TTTTTxxbbQBPBSSBPBBPBSSQNQˆˆ()fX三、S的具体形式基准条件：U个参数之间存在的d个约束条件，是由基准秩亏（d≠0）所致。经典自由网平差的基准高程网中取平差后一点高程改正数为零、平面网中取两点的坐标改正数为零。秩亏自由网平差的基准•附加的基准条件式应与法方程式线性无关：•即等价于：NS=0ˆ0TbbNxBPl1ˆ0TduuSx得到S得具体形式：1）水准网：2）测边网：3）测角网：采用上述确定S的方法组成基准条件，称为秩亏自由网平差的重心基准。111...1TuS320000001122101010010101TmmmSyxyxyx0000004211220000001122101010010101TmmmmmSyxyxyxxyxyxy（m是网中全部待定点数，x0,y0是待定点近似坐标）（U是待定量的个数）4）边角网情况（ｄ=3）边角自由网与测边网的完全相同。5）GPS网情况（ｄ=3）33100100100010010010001001001TmS•例：附加条件法：•1）取各点的近似高程•2）误差方程•3）附加条件112233ˆ1100ˆ0110ˆ1016vxvxvx123ˆˆ1110ˆxxx010203012.34515.823HHmHm123ˆ21116ˆ12110ˆ1111611100xxxK123ˆ2ˆ0ˆ20xxxKˆˆ21111219112xxQ4）法方程5）求X和K6）求QX直接解法：112233ˆ1100ˆ0110ˆ1016vxvxvx法方程：求解：误差方程：ˆ()TxNNNBPlˆ0TNxBPl•作业：秩亏自由网平差法