线性系统理论多年考题和答案

2008级综合大题400102110010112xxuyx1能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2控规范分解求上述方程的不可简约形式？3求方程的传递函数；4验证系统是否渐近稳定、BIBO稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K，若不能，请说明理由；6能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5；7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。参考解答：1.判断能控性：能控矩阵21416124,()2.000MBABABrankM系统不完全可控，不能任意配置极点。2按可控规范型分解取M的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P，求得1203311066001P进行变换1120831112,0,22260001APAPBPBccP所以系统不可简约实现为08112022xxuyx3.12(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1)(4)(2)sssGscsIABsssss4.det()(4)(2)(1)sIAsss，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。12(1)()()(4)(2)sGscsIABss，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不是BIBO稳定。系统发散，不是李氏稳定。5.可以。令11228,12TkkkkABkk则特征方程2112()det()(2)28fssIABkskskk期望特征方程*2()(2)(3)56fsssss比较上两式求得：728Tk6.可以。设12lLl，则11222821222llALCll特征方程22121()(222)1628fssllsll期望特征方程*2()(4)(5)920fsssss比较得：103136L则：2043310733ALC观测器方程为：204101333107013336xxuy7.框图2007级线性系统理论试题及答案一、简述：1．线性性质：一个系统对任何输入1u和2u及任何实数1和2，均有11221122HuuHuHu，称其为线性的。2．松弛性：0t时刻松弛:输出0,ty唯一地由0,tu所激励时，称系统在0t时刻松弛。3．时不变：一个系统的特性不随时间而变化。4．串联系统：系统只有1个输入，第一个子系统输出作为第二个子系统的输入，第二个子系统的输出作为总的输出。5．状态转移矩阵：令t是xAtx的任一基本矩阵，对,中的t，0t称100,tttt是xAtx的状态转移矩阵。二、101021xxu[12]yx1．验证能控、能观；2．是否稳定、渐近稳定，分别为什么；3．假设初始状态未知，能否找到一个0,u使ye；4．000x，求yt的单位阶跃响应，1000tutt；5．能否配置状态反馈使2,3是新的极点？若能，找出K，若不能，说明理由；6．设计全维观测器，使极点为4,5，画出结构图。解：1．11212rankBABrank，可控，12214CrankrankCA,可观；2．系统为线性时不变的，故稳定性与渐近稳定性等价。令det0sIA，即120ss，所以特征值为11s、22s，不稳定，亦不渐近稳定；3．00tAtAtytCexCeBud1022()020112121tttttxeeudxee2210202ttttexexeeu令yte，由于10x，20x未知，u无解，找不到；4．由3得：22220002000tttttteetyeeeeut5．设12Kkk，121212kkABKkk令122121det56det2skksIABKssksk解得：112k，220k，因此1220K6．设12TLll,11221222llALCll令1122212det920det22sllsIALCsslsl解得：130l，221l，因此3021TL.（结构图略）三、确定参数a、b的范围，使系统能控能观：1．11002100031axxu001yx2．00100101111xxua01ybx3．使李氏稳定，74001100axx解：1．2014015139aaUBABAB，令3rankU，得1a22001003CVCACACA,2rankV，a无解，所以找不到合适的a的范围使系统能控能观；2．20111112aaUBABABaaa，令3rankU，得1a2011120CbVCAbbbCAbb，令23det0Vbb，得0b且1b所以，当1a，0b且1b时，系统可控可观；3．32det47sIAsass320123asasasa要让detsIA根小于0，有两种做法：①根据经验：21030jaaaaa07047aaa无解②劳斯判据：3210147477ssaasas令第一列元素均大于零，a无解，因此肯定有一个正根所以，该系统找不到合适的a使系统李氏稳定。四、1．222332421sssGSsss，实现若当标准型；解：202011111250121Gssss110001010021xxu02105201yxu注：①A为若当标准型，B为001001T，C为每个对应的N按从高到低幂数排列，E为直接传递部分（常数）；②以上仅对单输入正确，多输入需分解N为iiCB（满秩分解）。2．按行展开，实现不可简约实现，大家看作业吧，这个题目看不清楚；3．002000012000125212001202xxu，实现可控标准型。（可控标准型当然必然可控了，我擦）解：222121212000024001221012210522020012BABABbbAbAbAbAb13u，31u，重排得12111120020012012520012PbAbAbb求得1021111000.50000.25000.5P取1P的第三行（u1=3）为10.5000h1P的第四行为20.25000.5h计算1h、1hA、21hA、2h，得1122120.5000010000100.25000.5hhAPhAh因此得122000010000101002P所以1220100001031262000APAP,200001201BPB，则可控标准型为：010000001000312612200001xxu五、100011001A，100101B，100011C1．叙述并证明分离性原理；2．要用状态反馈将系统特征值配置到123，并用降维观测器实现所需要的反馈。解：1．组合系统：ˆˆˆ,xAxBKxBrxALCBKxLyBryCx即ˆˆxABKxBrLCALCBKxBx作等价变换0ˆPxIxxIIx新的动态方程为：00xABKBKxBrxALCx0xyCx此系统闭环特征多项式与原系统相同，均为2detdetdet0nnnABKBKsIsIABKsIALCALC上式表明，状态反馈设计与估计器设计互不影响，分开进行；2．⑴设123456kkkKkkk1234564561111kkkABKkkkkkk令det123sIABKsss解得（特解）12340kkkk，512k，65k即0000125K⑵取100011001CPR,则1100011001P所以1100011001APAP,100201BPB,1100010CCP所以111001A,1201A,2100A,211A11002B,201B,11001C,200C令12Lll，需观测的状态数为一阶，12Tuuu，12Tyyy22122121112212zALAzBLBuALAALALy2211221121221122lzlululllyly211210ˆIyyxPQQLILyzz因为状态反馈极点为123，令估计器极点为-4，取10l，26l估计器方程：224925zzuy010ˆ105105xzy六、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态0ex是否为大范围渐进稳定。1222112xxxxxx解：取李亚普诺夫函数2212Vxxx2221212211212122220dxdxVVVxxxxxxxxxxdtxdt所以，系统在原点是李氏稳定的若1200xx，则可求得方程只有零解1200xx所以，Vx沿非零解，不恒为0。（=0时只有零解）又由当0x时，limVx所以，系统在原点是大范围渐近稳定的。北京理工大学2006-2007学年第一学期2