（东营专版）2019年中考数学复习 核心母题一 最值问题深度练习

1核心母题一最值问题深度练习1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝()A．6B．8C．10D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．25．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．参考答案1．B2.73.(23－3，2－3)4．解：如图，连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝OQ2－OP2＝9－OP2，当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC，则OP＝12OB＝32，∴PQ的最大值为9－（32）2＝332.35．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得－b2a＝2，a－b＋c＝0，c＝5，解得a＝－1，b＝4，c＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.(2)当a＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE＝1，OF＝2.设P(x，－x2＋4x＋5)．如图，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4.S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝12(OF＋PN)·ON－12MN·NP－12OE·OM＝12(x＋2)(－x2＋4x＋5)－12x·(－x2＋4x＋4)－12×1×1＝－(x－94)2＋15316，∴当x＝94时，S四边形MEFP最大，最大为15316.当x＝94时，y＝－x2＋4x＋5＝14316，此时点P坐标为(94，14316)．(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3.令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±6.∵点P在第一象限，4∴点P(2＋6，3)．∵在四边形PMEF中，PM，EF长度是固定的，∴ME＋PF最小时，四边形PMEF的周长最小．如图，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P(2＋6，3)，M2(1，－1)代入得（2＋6）m＋n＝3，m＋n＝－1，解得m＝46－45，n＝－46＋15，∴y＝46－45x－46＋15.当y＝0时，解得x＝6＋54，∴F(6＋54，0)．∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14，∴当a＝6＋14时，四边形PMEF的周长最小．