（2019高考题 2019模拟题）2020高考数学 素养提升练（七）理（含解析）

1素养提升练(七)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·宣城二调)复数i－51＋i(i是虚数单位)的虚部是()A．3iB．6iC．3D．6答案C解析复数i－51＋i＝－－＋－＝－2＋3i.复数i－51＋i(i是虚数单位)的虚部是3.故选C.2．(2019·广东汕头模拟)已知集合A＝{0,1,2}，若A∩∁ZB＝∅(Z是整数集合)，则集合B可以为()A．{x|x＝2a，a∈A}B．{x|x＝2a，a∈A}C．{x|x＝a－1，a∈N}D．{x|x＝a2，a∈N}答案C解析由题意知，集合A＝{0,1,2}，可知{x|x＝2a，a∈A}＝{0,2,4}，此时A∩∁ZB＝{1}≠∅，A不满足题意；{x|x＝2a，a∈A}＝{1,2,4}，则A∩∁ZB＝{0}≠∅，B不满足题意；{x|x＝a－1，a∈N}＝{－1,0,1,2，3，…}，则A∩∁ZB＝∅，C满足题意；{x|x＝a2，a∈N}＝{0,1,4,9,16，…}，则A∩∁ZB＝{2}≠∅，D不满足题意．故选C.3．(2019·衡阳联考)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是()A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值2答案C解析甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值3，故A错误；甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，因为236＜4，故C正确；甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选C.4．(2019·东北三校模拟)已知cosα＋π6＝13，则sin2α－π6＝()A．－79B.79C.89D．－89答案B解析∵cosα＋π6＝13，∴sin2α－π6＝－cos2α－π6＋π2＝－cos2α＋π3＝1－2cos2α＋π6＝79.故选B.5．(2019·达州一诊)如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为()A．4πB．2πC.4π3D．π答案B解析根据图中三视图可知几何体的直观图如图所示，为圆柱的一半，可得几何体的体积为12×12×π×4＝2π.故选B.36．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|答案A解析作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.7．(2019·镇海中学模拟)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得am·an＝16a21，则1m＋9n的最小值为()A.32B.114C.83D.103答案C解析设正项等比数列{an}的公比为q，且q0，由a7＝a6＋2a5，得a6q＝a6＋2a6q，化简得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为aman＝16a21，所以(a1qm－1)(a1qn－1)＝16a21，则qm＋n－2＝16，解得m＋n＝6，所以1m＋9n＝16(m＋n)·1m＋9n＝1610＋nm＋9mn≥1610＋2nm·9mn＝83，故选C.8．(2019·安徽芜湖二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2,2019]时，符合条件的a共有()A．133个B．134个C．135个D．136个答案C解析由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*，则3m＝5n＋1.当m＝5k，n不存在；当m4＝5k＋1，n不存在；当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3，n不存在；当m＝5k＋4，n不存在；故2≤a＝15k＋8≤2019，解得－615≤k≤201115，k∈Z，则k＝0,1,2，…，134，共135个．故选C.9．(2019·湖南百所重点中学诊测)若变量x，y满足约束条件x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，且a∈(－6,3)，则z＝yx－a仅在点A－1，12处取得最大值的概率为()A.19B.29C.13D.49答案A解析z＝yx－a可以看作点(x，y)和点(a,0)的斜率，直线AB与x轴交点为(－2,0)，当a∈(－2，－1)时，z＝yx－a仅在点A－1，12处取得最大值，所以P＝－1－－3－－＝19.故选A.10．(2019·肇庆二模)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，1)答案D解析根据题意求函数f(x)的导数f′(x)，根据x＝1是f(x)的极小值点，得出x1时f′(x)0，且x1时f′(x)0，由此可得出实数a的取值范围．函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex，则f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex，令f′(x)＝0，得x2－(a＋1)x＋a＝0，极值点是x＝1和x＝a，仅当a1时，增区间是(－∞，a)和(1，＋∞)，减区间是(a,1)，符合题意．故选D.11．(2019·启东中学模拟)若椭圆x225＋y216＝1和双曲线x24－y25＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()5A.212B．84C．3D．21答案D解析依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下，由椭圆方程x225＋y216＝1可得a21＝25，a1＝5，由椭圆定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a1＝10①，由双曲线方程x24－y25＝1可得a22＝4，a2＝2，由双曲线定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a2＝4②，联立方程①②，解得，|PF1|＝7，|PF2|＝3，∴|PF1|·|PF2|＝3×7＝21，故选D.12．(2019·茂名一模)已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在－12，52上所有实数解之和为()A．1B．3C．6D．7答案D解析因为f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)＝f(x－2)，所以f(x)的最小正周期为2，又由f(x＋1)＝f(x－1)＝f(1－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．令g(x)＝|cosπx|，则g(x)的图象如图所示，由图象可得，y＝f(x)与g(x)＝|cosπx|的图象在－12，52上有7个交点，且实数解的和为2×3＋1＝7，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·湖南八校联考)二项式x＋2x5的展开式中1x2的系数为________．答案806解析由二项式x＋2x5的展开式的通项公式得，Tr＋1＝2rCr5x5－r2x－r＝2rCr5x5－3r2，令5－3r2＝－2，解得r＝3，即二项式x＋2x5的展开式中1x2的系数为23C35＝80.14．(2019·葫芦岛调研)庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________．答案甲解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲√×××乙√×√√丙××√√丁×√×√①若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；②若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意；③若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意；④若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意．故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故答案为甲．15．(2019·吉林一模)设函数f(x)＝lnx，x≥1，1－x，x1，若f(m)1，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，0)∪(e，＋∞)解析如图所示，7可得f(x)＝lnx，x1，1－x，x1的图象与y＝1的交点分别为(0,1)，(e,1)，∴f(m)1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．16．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．答案2解析解法一：由F1A→＝AB→，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2.又F1B→·F2B→＝0，∴∠F1BF2＝90°.∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B.又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图1所示，不妨设B为c2，－32c.∵点B在直线y＝－bax上，∴ba＝3，8∴离心率e＝ca＝1＋ba2＝2.解法二：∵F1B→·F2B→＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得|BH||OH|＝ba，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．又∵F1A→＝AB→，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴ba＝bc－a，∴c＝2a，∴离心率e＝ca＝2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列1bnbn＋1的前n项和Tn.解(1)证明：当n＝1时，a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)，∴an＝2an－2an－1－1，∴an＋1＝2(an－1