（2019高考题 2019模拟题）2020高考数学 素养提升练（六）理（含解析）

1素养提升练(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·宣城二调)若复数z满足z(1＋2i)＝3＋i，i为虚数单位，则z的共轭复数z＝()A．1B．1－iC．2D．1＋i答案D解析由z(1＋2i)＝3＋i，z＝3＋i1＋2i＝＋－1－4i2＝5－5i5＝1－i，∴z的共轭复数z－为1＋i，故选D.2．(2019·清远联考)已知集合A＝{x∈R|log2(x＋1)≤2}，B＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2,3}B．{0,1,2,3}C．{1,2,3}D．{0,1,2}答案B解析由题可知A＝(－1,3]，则A∩B＝{0,1,2,3}．故选B.3.(2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是18＋192＝18.5，④错误，故选C.4．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十2八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为()A．24里B．12里C．6里D．3里答案C解析记每天走的路程里数为{an}，则{an}为公比q＝12的等比数列，由S6＝378，得S6＝a11－1261－12＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×125＝6，故选C.5．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cosπ2＋α＝35，则sin2α＝()A.2425B．－2425C.725D．－725答案A解析cosπ2＋α＝35⇒sinα＝－35，∵sin2α＋cos2α＝1，α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴sin2α＝2sinαcosα＝2425，故选A.6．(2019·黄山质检)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为()A．1B．－1C.2D．－2答案B解析由于a⊥(a＋2b)，故a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2.故b在a方向上的投影为a·b|a|＝－22＝－1.故选B.7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()3答案D解析∵f(－x)＝－x－x－x＋－x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.又fπ2＝1＋π2π22＝4＋2ππ21，f(π)＝π－1＋π20，排除B，C.故选D.8．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6答案B解析取B1C1的中点D1，连接A1D1，CD1，在直三棱柱ABC－A1B1C1，点D为BC的中点，∴AA1＝DD1且AA1∥DD1，∴AD∥A1D1且AD＝A1D1，∴∠CA1D1就是异面直线AD与A1C所成的角，AB＝AC＝2，BC＝2可以求出AD＝A1D1＝1，在Rt△CC1D1中，由勾股定理可求出CD1＝3，在Rt△AA1C中，由勾股定理可求出A1C＝2，显然△A1D1C是直角三角形，sin∠CA1D1＝CD1A1C＝32，∴∠CA1D1＝π3，故选B.9．(2019·四川二诊)在数列{an}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则数列{an}的通项公式为()A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝nn－2D．an＝nn＋2答案D解析令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，∴an－1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋2.故选D.10．(2019·山师附中模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，△OAB的面积为13bc3，则双曲线的离心率为()4A.132B.133C.222D.223答案D解析右焦点设为F，其坐标为(c,0)，令x＝c，代入双曲线方程可得y＝±bc2a2－1＝±b2a，△OAB的面积为12·c·2b2a＝133bc⇒ba＝133，可得e＝ca＝1＋b2a2＝1＋139＝223，故选D.11．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．8＋42B．2＋22＋43C．2＋63D．2＋42＋23答案D解析由题意可知，该几何体的直观图如图：该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A－BCD，三棱锥的表面积为12×2×2＋2×12×2×22＋34×(22)2＝2＋42＋23.故选D.12．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，曲线C1是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线x＋23y－4＝0相切的椭圆，则曲线C1的方程为()A.x24＋y23＝1B.x24＋y2＝1C.x25＋y24＝1D.x28＋y22＝1答案B5解析如图，由题意可得a＝2b(b0)，则设椭圆方程为x24b2＋y2b2＝1.联立x＋23y－4＝0，x24b2＋y2b2＝1，得4y2－43y＋4－b2＝0.由Δ＝48－16(4－b2)＝0，解得b＝1.所以曲线C1的方程为x24＋y2＝1.故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·东北三校模拟)已知x，y满足约束条件－1≤x－y≤1，－2≤2x＋y≤2，则z＝3x＋y的最大值为________．答案3解析根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z＝3x＋y，可知直线y＝－3x＋z过A(1,0)时，z有最大值为3×1＋0＝3.14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为________．6答案1712解析运行程序，x＝2，n＝1，判断是，x＝32，n＝2，判断是，x＝1712，n＝3，判断否，输出x＝1712.15．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．答案(22,20)解析由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4，第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6，……，第n组各个数对和为n＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42，则第40组第21个数对为(22,20)．16．(2019·哈三中模拟)函数f(x)＝x2－6x＋4lnx的图象与直线y＝m有三个交点，则实数m的取值范围为________．答案(4ln2－8，－5)解析由题意得f′(x)＝2x－6＋4x＝2x2－6x＋4x，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，易得当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈(1,2)，f′(x)0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(1)＝－5为极大值，f(2)＝4ln2－8为极小值，∴4ln2－8m－5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，其中b＝2，sin(A－B)＝sinC－sinB.(1)求A；(2)若D是AC边的中点，BD＝7，求a.解(1)∵sin(A－B)＝sinC－sinB，∴sinB＝sinC－sin(A－B)，即sinB＝sin(A＋B)－sin(A－B)，整理得sinB＝2cosAsinB.7又sinB≠0，则cosA＝12，则A＝π3.(2)根据题意，设AB＝t，又由b＝AC＝2，则AD＝1，在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cosA＝t2＋1－2×t×1×12＝7，即t2－t－6＝0，解得t＝3或t＝－2(舍去)．在△ABC中，a2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴a＝7.18．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A，B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95]A零件812403010B零件91640287(1)试分别估计A，B两种零件为正品的概率；(2)生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：①设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；②求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．解(1)∵指标大于或等于80cm的为正品，且A，B两种零件为正品的频数分别为80和75，∴A，B两种零件为正品的概率估计值分别为P(A)＝80100＝45，P(B)＝75100＝34.(2)①由题意知，X的可能取值为－25,35,50,110，P(X＝－25)＝15×14＝120，P(X＝35)＝45×14＝15，P(X＝50)＝15×34＝320，P(X＝110)＝45×34＝35.8∴X的分布列为X－253550110P1201532035∴X的数学期望为E(X)＝(－25)×120＋35×15＋50×320＋110×35＝79.25.②∵生产1个零件B是正品的概率为P(B)＝34，生产5个零件B所产生的正品数Y服从二项分布，即Y～B5，34，生产5个零件B所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，∴生产5个零件B所得利润不少于160元的概率为P＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C45344141＋C55345＝81128.19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．解(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂