（江苏专用）2020高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练（五）

1综合仿真练(五)1．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,4}，B＝{1,4,5}，则A∪(∁UB)＝________.解析：∵集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,4}，B＝{1,4,5}，∴∁UB＝{2,3}，A∪(∁UB)＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．已知i为虚数单位，复数z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且z1z2＝1＋i，则y＝________.解析：因为z1z2＝1＋i，所以z1＝(1＋i)z2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，所以y＝1.答案：13．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x人，所以x2000＝0.19，即x＝380，所以高三人数为2000－650－370－380＝600人．答案：6004．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n是30，则输出的变量S的值是________．解析：根据算法流程图知，当n＝30时，n＞2，S＝30，n＝28；当n＝28时，n＞2，S＝58，n＝26；……；当n＝2时，S＝30＋28＋26＋…＋2＝1530＋22＝240，n＝0.当n＝0时，n＜2，输出S＝240.答案：2405．已知倾斜角为α的直线l的斜率等于双曲线x2－y23＝1的离心率，则sin2019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e＝2，所以tanα＝2，所以sin2019π3－2α＝sin2α2＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45.答案：456．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式f(x2－2x)0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3x2－2x3，从而可得－1x3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)7．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则S10＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．因为a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，所以a27＝a3a9，即(20＋6d)2＝(20＋2d)(20＋8d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，所以S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：1108．(2019·泰州中学模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，步骤如下：①先请高二级500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0x1,0y1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数m估计π的值．假如本次试验的统计结果是m＝113，那么可以估计π的值约为________．解析：由题意，500对都小于1的正实数对(x，y)满足0x1，0y1，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x，y)，满足cosθ＝x2＋y2－12xy0且0x1，0y1，即x2＋y21，且0x1，0y1，满足该条件的区域的面积为1－π4，因为统计两数能与1构成锐角三角形三边的数对(x，y)的个数m＝113，所以113500≈1－π4，所以π≈387125.答案：3871259．函数f(x)＝sinx＋3cosx－a在区间[0,2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.3解析：f(x)＝sinx＋3cosx－a＝2sinx＋π3－a，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则a＝3.令sinx＋π3＝32，所以x＋π3＝2kπ＋π3或x＋π3＝2kπ＋π－π3，所以x＝2kπ或x＝2kπ＋π3，所以x1＝0，x2＝π3，x3＝2π，即x1＋x2＋x3＝7π3.答案：7π310．(2019·常州期初)已知圆O：x2＋y2＝1，O为坐标原点，直线l：y＝kx－2与圆O无公共点，过l上一点P作圆O的切线，切点分别为A，B，若PA―→·PB―→＝23，则k的取值范围为________．解析：如图，连接OA，OB，OP，易知∠APO＝∠BPO，PB＝PA，设∠APO＝∠BPO＝θ，则PA―→·PB―→＝|PA―→|2cos2θ＝(OP2－1)(1－2sin2θ)＝(OP2－1)1－2×1OP2＝OP2－1－2＋2OP2＝23，∴OP2＋2OP2－113＝0，∴OP2＝3或OP2＝23.∵直线l与圆O无公共点，∴舍去OP2＝23，则OP2＝3，故P点在圆x2＋y2＝3上，且在直线l：y＝kx－2上，∴直线l与圆x2＋y2＝3有公共点．设圆x2＋y2＝3的圆心与直线l的距离为d′，则d′＝2k2＋1≤3，得k2≥13.又直线l与圆O无公共点，∴2k2＋11，得k23.∴13≤k23，∴k∈－3，－33∪33，3.答案：－3，－33∪33，311．在平行四边形ABCD中，∠A＝π3，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM―→||BC―→|＝|CN―→||CD―→|，则AM―→·AN―→的最大值为________．解析：以AB所在直线为x轴，过点A作垂直于直线AB所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设|BM―→||BC―→|＝|CN―→||CD―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM―→|＝λ，|CN―→|＝2λ，4所以M2＋λ2，32λ，N52－2λ，32，所以AM―→·AN―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM―→·AN―→∈[2,5]，所以AM―→·AN―→的最大值为5.答案：512．(2019·海安中学模拟)已知△ABC的面积为3，∠BAC＝120°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，AF为BC边上的中线，D是边BC上一点且BD―→＝2DC―→，则当AD的长度取最小值时，AE―→·AF―→＝________.解析：在△ABC中，设∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则S△ABC＝12bcsin∠BAC＝12bc×32＝3，∴bc＝4.∵BD―→＝2DC―→，∴AD―→＝AB―→＋BD―→＝AB―→＋23BC―→＝AB―→＋23(AC―→－AB―→)＝13AB―→＋23AC―→，又AB―→·AC―→＝|AB―→|·|AC―→|cos∠BAC＝bccos120°＝－12bc，∴AD―→2＝13AB―→＋23AC―→2＝19(AB―→2＋4AC―→2＋4AB―→·AC―→)＝19(c2＋4b2－2bc)≥19(2·c·2b－2bc)＝89，当且仅当2b＝c时取等号，则由2b＝c，bc＝4，得b＝2，c＝22.∵AE为∠BAC的平分线，且BEsin∠BAE＝22sin∠AEB，2sin∠AEC＝ECsin∠EAC，∴BE＝2EC，故点E与点D重合，则得AE―→＝13AB―→＋23AC―→.又AF―→＝12(AB―→＋AC―→)，∴AE―→·AF―→＝13(AB―→＋2AC―→)·12(AB―→＋AC―→)＝16(AB―→2＋2AC―→2＋3AB―→·AC―→)＝16×8＋2×2＋3×22×2×－12＝1.答案：113．已知函数f(x)＝2x2＋2mx－1，0≤x≤1，mx＋2，x1，若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有52个零点，则实数m的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m≥0时，函数f(x)＝2x2＋2mx－1的对称轴－m2≤0，且f(0)＝－1，所以此时f(x)在[0,1]上至多有一个零点，而f(x)＝mx＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m≥0不符合题意．当m0时，函数f(x)＝2x2＋2mx－1的对称轴－m20，且f(0)＝－1，所以，此时f(x)在[0,1]上至多有一个零点，而f(x)＝mx＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f(x)在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求0－m2≤1，2＋2m－1≥0，m＋20，解得－12≤m0.综上，实数m的取值范围为－12，0.法二：由题意得x＝0不是函数f(x)的零点．当0＜x≤1时，由f(x)＝0，得m＝12x－x，此时函数y＝12x－x在(0,1]上单调递减，从而y＝12x－x≥－12，所以，当m≥－12时，f(x)在(0,1]上有且只有一个零点，当x＞1时，由f(x)＝0，得m＝－2x，此时函数y＝－2x在(1，＋∞)上单调递增，从而y＝－2x∈(－2,0)，所以，当－2＜m＜0时，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f(x)在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求m≥－12，－2m0，解得－12≤m0.综上，实数m的取值范围为－12，0.答案：－12，014．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＋2sinB＝2sinC，b＝3，则cosC的最小值等于________．解析：利用正弦定理化简sinA＋2sinB＝2sinC，得a＋2b＝2c，两边平方得a2＋22ab＋2b2＝4c2，所以4a2＋4b2－4c2＝3a2＋2b2－22ab，即a2＋b2－c2＝3a2＋2b2－22ab4，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝3a2＋2b2－22ab8ab＝183ab＋2ba－22≥18(26－622)＝6－24，当且仅当3ab＝2ba时取等号，所以cosC的最小值为6－24.答案：6－24