（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（五） “三角”专题提能课

1课时达标训练(五)“三角”专题提能课A组——易错清零练1．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，B＝2A且cab，则AC的取值范围是________．解析：∵ACsinB＝BCsinA，∴AC＝BCsinAsinB＝BCsinAsin2A＝2cosA，因为cab，所以CAB，即0π－3AA，所以π4Aπ3，AC∈(1，2)．答案：(1，2)2．在边长为1的正三角形ABC中，AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝________．解析：AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝|AB―→||BC―→|cos120°＋|BC―→||CA―→|cos120°＋|CA―→||AB―→|cos120°＝－12＋－12＋－12＝－32.答案：－323．在△ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC边上的中线BD＝5，则sinA的值为________．解析：设E为BC的中点，连结DE，则DE∥AB，且DE＝12AB＝263，设BE＝x，在△BDE中，由余弦定理可得，5＝x2＋83＋2×263×66x，解得x＝1或x＝－73(舍去)，故BC＝2，从而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝283，即AC＝2213，又sinB＝306，故2sinA＝2213306，sinA＝7014.答案：701424．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是________．解析：∵sin2α＝55，α∈π4，π，∴cos2α＝－255且α∈π4，π2.又∵sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010.因此sin(β＋α)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α＝1010×－255＋－31010×55＝－22，cos(β＋α)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝－31010×－255－1010×55＝22，又α＋β∈5π4，2π，∴α＋β＝7π4.答案：7π4B组——方法技巧练1．在正△ABC中，D是BC边上的点，AB＝3，BD＝1，则AB―→·AD―→＝________．解析：∵AD―→＝AB―→＋BD―→＝AB―→＋13BC―→＝AB―→＋13(AC―→－AB―→)＝23AB―→＋13AC―→，∴AB―→·AD―→＝23AB―→2＋13AB―→·AC―→＝23×32＋13×3×3×12＝152.答案：1522．若关于x的方程3sinx＋cosx＝k在区间0，π2上有两个不同的实数解，则实数3k的取值范围为________.解析：方程3sinx＋cosx＝k在区间0，π2上有两个不同的实数解等价于y＝3sinx＋cosx与y＝k在区间0，π2上有两个交点．又y＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6，x∈0，π2，作出函数y＝2sinx＋π6，x∈0，π2与y＝k的函数图象如图所示，由图象可知，当k∈[3，2)时原方程有两解．答案：[3，2)3．设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是________．解析：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x.令t＝sin2x∈[－1，1]，则g(t)＝1－12t－12t2＝98－12t＋122，所以g(t)min＝g(1)＝0，g(t)max＝g－12＝98，即f(x)的值域是0，98.答案：0，984．已知向量a，b，满足|a|＝1，a与b的夹角为π3，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围是________．解析：由|a|＝1，a与b的夹角为π3，可得a·b＝12|b|，对|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方可得，x2a2＋4xa·b＋4b2≥a2＋2a·b＋b2，化简得x2＋2x|b|＋3|b|2－|b|－1≥0对一切实数x恒成立．所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0，解得|b|≥1.答案：[1，＋∞)5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAsinA＋cosCsinC＝1sinB.(1)求证：0B≤π3；(2)若sinB＝74，且BA―→·BC―→＝32，求|BC―→＋BA―→|的值．4解：(1)证明：因为cosAsinA＋cosCsinC＝cosAsinC＋cosCsinAsinAsinC＝sin（A＋C）sinAsinC＝sinBsinAsinC＝1sinB.所以sinAsinC＝sin2B，由正弦定理可得，b2＝ac.因为b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2accosB，所以cosB≥12，即0B≤π3.(2)因为sinB＝74，且b2＝ac，所以B不是最大角，所以cosB＝1－sin2B＝1－716＝34.所以32＝BA―→·BC―→＝cacosB＝34ac，得ac＝2，因而b2＝2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2＝5.所以|BC―→＋BA―→|2＝a2＋c2＋2BC―→·BA―→＝a2＋c2＋2accosB＝8，即|BC―→＋BA―→|＝22.6．在△ABC中，已知3tanA·tanB－tanA－tanB＝3.(1)求角C的大小；(2)设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2，且△ABC是锐角三角形，求a2＋b2的取值范围；(3)若△ABC的面积为3，求△ABC的周长的最小值．解：(1)由已知得，tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3tanAtanB－31－tanAtanB＝3，因为0Cπ，所以C＝π3.(2)a2＋b2＝(2RsinA)2＋(2RsinB)2＝csinC2(sin2A＋sin2B)＝1631－cos2A2＋1－cos2B2＝163－83cos2A＋cos4π3－2A＝163＋83－12cos2A＋32sin2A＝83cos2A－2π3＋163，其中π6Aπ2，所以a2＋b2∈203，8.(3)因为S△ABC＝12absinC＝3，所以ab＝4.周长l＝a＋b＋c＝a＋b＋a2＋b2－2abcosC＝a＋b＋（a＋b）2－3ab，5因为a＋b≥2ab＝4，所以l≥6，当且仅当a＝b时取等号，所以周长的最小值为6.C组——创新应用练1．直线y＝2x和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，以Ox为始边，OA，OB为终边的角分别为α，β，则sin(α＋β)的值为________．解析：联立直线与圆的方程可得，交点坐标为55，255，－55，－255，又β＝π＋α，所以sin(α＋β)＝sin(π＋2α)＝－sin2α＝－2×55×255＝－45.答案：－452．(2019·无锡期末)已知直线y＝a(x＋2)(a＞0)与函数y＝|cosx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1＜x2＜x3＜x4，则x4＋1tanx4＝________．解析：易知直线y＝a(x＋2)过定点(－2，0)，作出直线y＝a(x＋2)与函数y＝|cosx|的图象，如图所示，由图可知，直线y＝a(x＋2)(a＞0)与y＝|cosx|的图象在x＝x4处相切，且x4∈π2，π，则a(x4＋2)＝－cosx4，所以a＝－cosx4x4＋2，又在π2，π上，y＝－cosx，y′＝sinx，所以(－cosx4)′＝sinx4，所以a＝sinx4，因此a＝－cosx4x4＋2＝sinx4，即cosx4sinx4＝－x4－2，x4＋cosx4sinx4＝x4＋1tanx4＝－2.答案：－23．(2019·无锡期末)在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则1tanA＋1tanB＋1tanC的最小值为________．解析：由正弦定理，得2a2＋b2＝2c2.作BD⊥AC于点D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h(x，y，h＞0)，因为2a2＋b2＝2c2，所以2(y2＋h2)＋(x＋y)2＝2(x2＋h2)，化简得x2－2xy－3y2＝0，得x＝3y.又tan(A＋C)＝－tanB，所以tanA＋tanC1－tanAtanC＝－tanB，1－tanAtanCtanA＋tanC＝－1tanB，6所以1tanA＋1tanB＋1tanC＝1tanA＋1tanC＋tanAtanC－1tanA＋tanC＝xh＋yh＋h2xy－1hx＋hy＝4yh＋h2－3y24yh＝13y4h＋h4y≥132，当且仅当13y4h＝h4y时等号成立．故1tanA＋1tanB＋1tanC的最小值为132.答案：1324．(2019·南京四校联考)在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝3，AC＝4，P为△ABC内一点，若∠PBA＝∠PCB＝∠PAC＝α，则tanα＝________．解析：设PA＝x，PB＝y，PC＝z，在△PAB中，由余弦定理得cosα＝32＋y2－x22×3×y＝9＋y2－x26y，又S△PAB＝12×3×y×sinα，所以sinα＝2S△PAB3y，易知cosα≠0，所以tanα＝4S△PAB9＋y2－x2，即(9＋y2－x2)tanα＝4S△PAB，①同理可得，(25＋z2－y2)tanα＝4S△PBC，②(16＋x2－z2)tanα＝4S△PCA.③①②③相加，得50tanα＝4(S△PAB＋S△PBC＋S△PCA)，又S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC＝6，所以tanα＝1225.答案：12255．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝3|a－kb|，其中k0，(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小．解：(1)已知|ka＋b|＝3|a－kb|，两边平方，得|ka＋b|2＝3|a－kb|2，即k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，∴8k·a·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，a·b＝（3－k2）a2＋（3k2－1）b28k.∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝1，b2＝1，∴a·b＝3－k2＋3k2－18k＝k2＋14k.7(2)∵k2＋1≥2k，即k2＋14k≥2k4k＝12，∴a·b的最小值为12，又∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，|a|＝|b|＝1，∴12＝1×1×cos〈a，b〉．∴cos〈a，b〉＝12，此时a与b的夹角为60°.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2＋c2的取值范围．解：(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，所以C＝π3.(2)法一：由C＝π3，可得c＝2RsinC＝1×32＝32，且a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB，设A＝π3＋α，B＝π3－α，由0