（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（十九） 导数的简单应用

1课时达标训练(十九)导数的简单应用A组——抓牢中档小题1．(2019·苏州期末)曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．解析：由函数y＝x＋2ex，可得y′＝1＋2ex，当x＝0时，y＝2，y′＝3，所以曲线y＝x＋2ex在点(0，2)处的切线方程为y＝3x＋2，令y＝0，可得x＝－23，所以曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×23＝23.答案：232．(2019·常州期末)若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．解析：设切点坐标为(x0，ex0)，则曲线y＝ex在点(x0，ex0)处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即ex0x－y＋ex0(1－x0)＝0，易知该切线与直线kx－y－k＝0重合，所以ex0＝－ex0(1－x0)＝k，得x0＝2，k＝e2.答案：e23．(2019·安徽师大附中期中)已知函数f(x)＝ex＋ae－x为偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率为83，则该切点的横坐标为________．解析：∵函数f(x)＝ex＋ae－x为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即e－x＋aex＝ex＋ae－x，可得a＝1.∴f(x)＝ex＋e－x，∴f′(x)＝ex－e－x.设该切点的横坐标为x0，则ex0－e－x0＝83.令ex0＝t0，可得t－1t＝83，整理可得3t2－8t－3＝0，解得t＝3或－13(舍)．∴ex0＝3，解得x0＝ln3.则该切点的横坐标为ln3.答案：ln34．(2019·广东广州一模)已知过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．解析：设切点坐标为(x0，y0)，则由(xex)′＝xex＋ex可知切线斜率k＝(x0＋1)·ex0，所以切线方程为y－y0＝(x0＋1)·ex0(x－x0)．将点A(a，0)代入切线方程得－y0＝(x0＋1)·ex0(a－x0)．又y0＝x0ex0，所以(x0＋1)·ex0(a－x0)＝－x0ex0，整理得x20－ax0－a＝0有两个解，所以Δ＝a2＋4a0，解得a－4或a0.2答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)5．设a∈R，若函数f(x)＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．解析：令f′(x)＝ex＋a＝0，则ex＝－a，x＝ln(－a)．因为函数f(x)有大于零的极值点，所以ln(－a)＞0，所以－a＞1，即a＜－1.答案：(－∞，－1)6．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为________．解析：由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.答案：(－∞，－3]7．(2019·盐城三模)已知函数f(x)＝x＋4sinx，若不等式kx＋b1≤f(x)≤kx＋b2对一切实数x恒成立，则b2－b1的最小值为________．解析：原不等式可化为(k－1)x＋b1≤4sinx≤(k－1)x＋b2，结合函数图象(图略)知k＝1，进一步得b2≥4，b1≤－4，所以b2－b1≥8，所以b2－b1的最小值为8.答案：88．已知函数f(x)＝lnx－mx(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________．解析：因为f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤－3e，又f′(x)＝x＋mx2，且x∈[1，e]，所以f′(x)0，即f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1－me＝4，解得m＝－3e.答案：－3e39．若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2mx＋1x－2＝2mx2－2x＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以二次函数g(x)＝2mx2－2x＋1在定义域(0，＋∞)上必须大于等于0，所以m＞0，g12m≥0，解得m≥12.答案：12，＋∞10．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b.又f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，当且仅当a＝b＝3时，t取得最大值9.答案：911．(2019·南京盐城一模)设函数f(x)＝x3－a2x(a0，x≥0)，O为坐标原点，A(3，－1)，C(a，0)，对函数图象上的任意一点B，都满足OA―→·OB―→≤OA―→·OC―→成立，则a的值为________．解析：由题意得OA―→＝(3，－1)，OC―→＝(a，0)，设B(x，x3－a2x)，则OB―→＝(x，x3－a2x)，由OA―→·OB―→≤OA―→·OC―→得3x－(x3－a2x)≤3a，整理得(x－a)(x2＋ax－3)≥0.法一：设y1＝x－a，y2＝x2＋ax－3，则由(x－a)(x2＋ax－3)≥0在[0，＋∞)上恒成立知，两函数的图象应交于x轴上的点(a，0)，将x＝a代入x2＋ax－3＝0，得a2＋a2－3＝0，因为a0，所以得a＝62.法二：设g(x)＝(x－a)(x2＋ax－3)，则g(a)＝0，g′(x)＝x2＋ax－3＋(x－a)(2x＋a)＝3x2－3－a2，因为g′(x)在[0，＋∞)上有唯一零点，所以要使g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需g′(a)＝2a2－3＝0，因为a0，所以得a＝62.法三：由3x－(x3－a2x)≤3a得x3－a2x≥3x－3a.设p(x)＝x3－a2x，q(x)＝3x－3a，易4知当x≥0时，p(x)的图象上的点不在q(x)图象的下方，因为两函数图象有公共点(a，0)，且q(x)的图象是直线，所以p′(a)＝2a2＝3，得a＝62.答案：6212．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析：由题意知x＞0，且f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－（x－1）（x－3）x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.答案：(0，1)∪(2，3)13．已知函数f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e]上是增函数，函数g(x)＝|ex－a|＋a22，当x∈[0，ln3]时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为32，则a的值为________．解析：由题意可知f′(x)＝－(lnx＋1)＋a≥0在(0，e]上恒成立，所以a≥lnx＋1，即a≥2.当2≤a＜3时，g(x)＝a－ex＋a22，0≤x＜lna，ex－a＋a22，lna≤x≤ln3，g(x)在[0，lna]上单调递减，在[lna，ln3]上单调递增，因为g(0)－g(ln3)＝a－1＋a22－3－a＋a22＝2a－4≥0，所以g(0)≥g(ln3)，所以M－m＝g(0)－g(lna)＝a－1＝32，解得a＝52；当a≥3时，g(x)＝a－ex＋a22，g(x)在[0，ln3]上递减，所以M－m＝g(0)－g(ln3)＝2≠32，舍去．故a＝52.答案：52514．若函数f(x)＝ex2－aex(a∈R)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：设g(x)＝ex2－aex，因为f(x)＝|g(x)|在区间[1，2]上单调递增，所以g(x)有两种情况：①g(x)≤0且g(x)在区间[1，2]上单调递减．又g′(x)＝（ex）2＋2a2·ex，所以g′(x)＝（ex）2＋2a2·ex≤0在区间[1，2]上恒成立，且g(1)≤0.所以2a≤－（ex）2，e2－ae≤0无解．②g(x)≥0且g(x)在区间[1，2]上单调递增，即g′(x)＝（ex）2＋2a2·ex≥0在区间[1，2]上恒成立，且g(1)≥0，所以2a≥－（ex）2，e2－ae≥0，解得a∈－e22，e22.综上，实数a的取值范围为－e22，e22.答案：－e22，e22B组——力争难度小题1．设函数f(x)＝lnx－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－ax2＋1＋ax－xx＝－（ax＋1）（x－1）x.①若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1a.6因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a＞1，解得－1＜a＜0.综合①②，得a的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)2．(2019·南京四校联考)已知f(x)＝ex＋x2－ax，g(x)＝lnx＋x，若对任意的x0，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式f(x)≥g(x)可化为ex＋x2－ax≥lnx＋x，由题意知，当x0时，ex＋x2－ax≥lnx＋x，即a＋1≤ex＋x2－lnxx恒成立．令F(x)＝ex＋x2－lnxx，则F′(x)＝ex（x－1）＋x2－1＋lnxx2，显然有F′(1)＝0，且当x0时，[ex(x－1)＋x2－1＋lnx]′＝xex＋2x＋1x0，所以当x1时，F′(x)0，F(x)单调递增，当0x1时，F′(x)0，F(x)单调递减，所以F(x)min＝F(1)＝e＋1.因此有a＋1≤e＋1.故a≤e.答案：(－∞，e]3．设函数f(x)＝x－1ex，x≥a，－x－1，xa，g(x)＝f(x)－b.若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.解析：对于函数y＝x－1ex，y′＝2－xex，由y′0，得x2；由y′0，得x2，所以y＝x－1ex在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，极大值为1e2，当x→＋∞时，y→0.先不考虑a，作出y＝x－1ex和y＝－x－1的图象如图所示．只有当b∈0，1e2时，直线y＝b与曲线y＝x－1ex和直线y＝－x－1共有三个公共点．因为直线y＝1e2与直线y＝－x－1的交点为－1－1e2，1e2.所以当a∈－1－1e2，2时，存在直线y＝b与曲线y＝f(x)恰有三个公共点．答案：－1－1e2，24．(2019·苏锡常镇四市一模)已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．7解析：令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋|x－a|－(2a－1)x－alnx，则h(x)有且仅有两个零点．a≤0时，h(x)＝x2－2(a－1)x－alnx－a，h′(x)＝2x－2(a－1)－ax0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．a0时，h(x)＝x2－2ax－