七年级数学下册 第4章 三角形 4.4 用尺规作三角形课件 （新版）北师大版

第四章三角形初中数学（北师大版）七年级下册知识点用尺规作三角形的类型1.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.如图4-4-1,已知线段c,b和∠α,求作△ABC,使AB=c,AC=b,∠A=∠α. 图4-4-1作法:如图4-4-2,(1)作∠DAE=∠α;(2)分别在射线AD,AE上截取AB=c,AC=b;(3)连接BC.△ABC就是所求作的三角形. 图4-4-2注意:(1)求作三角形的过程用到了最基本的尺规作图,作一个角等于已知角.(2)作一个三角形的步骤:①已知;②求作;③作图;④作法.(3)如果已知三角形的两边及其一边的对角,则不能确定唯一的三角形.如图4-4-3,△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,但是△ABC与△ABD并不全等.图4-4-32.已知三角形的两角及其夹边,求作三角形.如图4-4-4,已知∠α,∠β和线段c,求作△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c. 图4-4-4作法:如图4-4-5所示,(1)作∠DAE=∠α;(2)在射线AE上截取AB=c;(3)以点B为顶点在AB的同侧作∠ABF=∠β,BF交AD于点C,则△ABC就是所求作的三角形. 图4-4-5注意:已知三角形的两角及其中一角的对边,也可以作出一个三角形,可以先求出三角形的第三个角,从而转化为已知三角形的两角及其夹边求作三角形.3.已知三角形的三条边,求作三角形.如图4-4-6,已知线段a,b,c,求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a. 图4-4-6作法:如图4-4-7所示,(1)作射线AM,并在AM上截取线段AB=c;(2)以点A为圆心,b为半径作弧;(3)以点B为圆心,a为半径作弧,交前面的弧于点C,连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形. 图4-4-7例小明教材上的三角形被墨迹污染了一部分,如图4-4-8,他想在作业本上画一个与教材上完全一样的三角形,他该怎么办?你能帮助他画出来吗? 图4-4-8分析已知两角及其夹边,可依据ASA求作三角形.解析作法:(1)作线段A'B'=AB;(2)以点A'为顶点作∠B'A'M=∠1;(3)以点B'为顶点作∠A'B'N=∠2,B'N与A'M交于点C',则△A'B'C'就是所求作的三角形.题型判断能否作出三角形作一个三角形等于已知三角形的依据有SSS,ASA,AAS,SAS,由这四种依据完成即可.例利用尺规作图不能唯一作出三角形的是 ()A.已知三边B.已知两边及夹角C.已知两角及夹边D.已知三个角解析三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.三个角都分别相等不能作为三角形全等的判定方法,也就不能确定三角形.答案D点拨看所给的条件是否符合三角形全等的判定方法中的某一种.知识点用尺规作三角形的类型1.利用下列条件进行尺规作图,画出的三角形不唯一的是 ()A.已知三边B.已知三个角C.已知两角和夹边D.已知两边和夹角答案B三个角相等,没有一边固定时,三角形大小不唯一.2.如图4-4-1,在△ABC中,∠ACB=80°,∠ABC=60°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC于点D.则∠ADB的度数为. 图4-4-112答案100°解析根据已知条件的作图步骤知,AG是∠CAB的平分线,由∠ACB=80°,∠ABC=60°可得∠CAB=40°,所以∠BAD=20°.在△ADB中,∠B=60°,∠BAD=20°,所以∠ADB=100°.3.已知线段a,b和m,如图4-4-2①,求作△ABC,使BC=2a,AC=b,BC边上的中线AD=m.盈盈想出了一种作法,根据图4-4-2②中的作图痕迹,你能想出她是怎样作出来的吗?把她的具体作法写下来吧! ① ②图4-4-2解析作法:(1)作线段CD=a,延长CD至B,使DB=CD;(2)以C为圆心,b为半径画弧;(3)以D为圆心,m为半径画弧,两弧交于点A;(4)连接AC,AB,AD.△ABC就是所求作的三角形.4.如图4-4-3,△ABC中,a=5cm,b=3cm,c=4cm,∠B=30°,∠C=40°.选择适当数据,作出与△ABC全等的三角形,写出所有的情况,看共有几种作法. 图4-4-3解析共6种作法:①4cm,3cm,5cm;②4cm,5cm,30°;③3cm,5cm,40°;④30°,5cm,40°;⑤30°,40°,3cm;⑥30°,40°,4cm.1.下列各条件中,能作出唯一的△ABC的是 ()A.AB=4,BC=5,AC=10B.AB=5,BC=4,∠A=40°C.∠A=90°,AB=10D.∠A=60°,∠B=50°,AB=5答案D∵4+510,即AB+BCAC,∴A选项不满足三角形的三边关系,作不出三角形.∠A是边BC的对角,“边边角”不能确定唯一的三角形,故B选项不满足题意.满足选项C中条件的三角形有无数多个,∴不满足题意.D选项中,“角边角”能作出唯一三角形,满足题意,故选D.2.已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使BC=a,AC=b,∠ACB=∠α,则作法的合理顺序为.(填序号即可)①在射线CM上截取CA=b;②作一条线段BC,使BC=a;③以C为顶点,CB为一边,作∠BCM=∠α;④连接AB,△ABC就是所要求作的三角形.答案②③①④解析此类题目要看清已知和求作,可画草图分析作图顺序.1.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图4-4-4所示,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是 () 图4-4-4A.SASB.SSSC.ASAD.AAS答案B根据图形可知OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D',所以能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是SSS.2.如图4-4-5所示,已知线段a,c和∠α,求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α,根据作图在下面空格填上适当的文字或字母. 图4-4-5(1)如图4-4-6①所示,作∠MBN=;(2)如图4-4-6②所示,在射线BM上截取BC=,在射线BN上截取BA=;(3)连接,如图4-4-6③所示,△ABC就是所求作的三角形. 图4-4-6答案(1)∠α(2)a;c(3)AC3.如图4-4-7,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图: 图4-4-7①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于 EF长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.则∠ADC的度数为.12答案65°解析根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线,因为∠CAB=50°,所以∠CAD= ∠CAB=25°.因为∠C=90°,所以∠CDA=90°-25°=65°.121.如图所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以作出个. 答案4解析可以使B、D为对应顶点,C、E为对应顶点,这样可以分别在DE的上下方各作一个三角形,同理,使B、E为对应顶点,C、D为对应顶点,也可以作2个三角形,故一共可作4个满足条件的三角形.2.如图,已知线段a及∠O,只用直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a,∠B=∠O,∠C=2∠B.(保留作图痕迹,不写作法) 解析如图所示,△ABC即为所求. 选择题1.(2016山西农大附中期末,9,★★☆)利用基本作图法,不能作出唯一三角形的是 ()A.已知两边及其夹角B.已知两角及夹边C.已知两边及一边的对角D.已知三边答案C2.(2018河北秦皇岛抚宁期末,6,★★☆)根据已知条件,能画出唯一△ABC的是 ()A.AC=4,AB=5,BC=10B.AC=4,AB=5,∠B=60°C.∠A=50°,∠B=60°,AB=2D.∠C=90°,AB=5答案CA.AC+AB=4+5=910=BC,三边不能组成三角形,A不正确;B.∵AC=4,AB=5,∠B=60°,由SSA不能得出两三角形全等,∴AC=4,AB=5,∠B=60°不能确定唯一的三角形,B不正确;C.∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,由ASA能得出两三角形全等,∴∠A=50°,∠B=60°,AB=2能确定唯一的三角形,C正确;D.∵∠C=90°,AB=5,缺少证明两三角形全等的条件,∴∠C=90°,AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.故选C.(2017北京昌平临川育人学校月考,21,★★☆)尺规作图:已知∠α,线段a,b.(如图)求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=b.(不写作法,保留痕迹)  解析如图,△ABC即为所求作的三角形. 解答题(2015浙江杭州中考,21,★★☆)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形;(2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).解析(1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的△ABC即为满足条件的三角形. (2013吉林长春中考,12,★★☆)如图,以△ABC的顶点A为圆心,BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点D;连接AD、CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为度. 答案65解析由作图知:AB=CD,AD=BC,又∵AC=AC,∴△ABC≌△CDA,∴∠ADC=∠B=65°.已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40°.(1)请你用尺规作一个满足条件的三角形;(2)你是否还能作出既满足条件,又与(1)中所作的三角形不全等的三角形?若能,请你用“尺规作图”作出这样的三角形;若不能,请说明理由.解析(1)如图所示,作∠AOB=40°,以O为圆心,1cm为半径画弧,交OA于点C,以O为圆心,2cm为半径画弧,交OB于点D,连接CD,则△OCD就是满足条件的一个三角形(如图所示). (2)能.如图所示,作∠AOB=40°,以点O为圆心,1cm为半径画弧,交OA于点C,以点C为圆心,2cm为半径画弧,交OB于点E,连接CE,则△OCE即为所求.(不唯一) 一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块,请你用尺规作图的方法画一个三角形,使所得的三角形和原来的三角形全等.(不要求写作法,保留作图痕迹)  解析如图所示,△ABC就是所求作的三角形.