七年级数学下册 第1章 整式的乘除 1.5 平方差公式课件 （新版）北师大版

第一章整式的乘除初中数学（北师大版）七年级下册知识点平方差公式1.两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2.2.公式的结构特征:左边:两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.右边:乘式中两项的平方差.3.运用公式计算的步骤:(1)辨识:观察两个二项式相乘是不是两数和乘这两数的差.(2)改写:当未写成(a-b)(a+b)的形式时,运用加法交换律或添括号等方法,将前后相同的项写在前面,互为相反数的项写在后面.如(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).(3)套用:根据平方差公式进行计算.注意:(1)公式中的a、b具有一般性,它们可以表示单项式,也可以表示多项式;(2)运用平方差公式的关键是识别两个数(或式子),哪个是完全相同的,哪个是互为相反数的.拓展:利用平方差公式时,需注意公式的几种变化形式.(1)符号变化:(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2).(2)位置变化:(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2.(4)指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=a4-b4.例下列两个多项式相乘,哪些可以用平方差公式计算,哪些不能?能用平方差公式计算的,写出计算结果.(1)(2a-3b)(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a+3b)(-2a-3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b).解析(2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算.(1)(6)不能用平方差公式计算.(2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2.(3)(-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2.(4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.(5)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2.题型一平方差公式的连续应用例1计算:(1)(1-x)(1+x)(1+x2);(2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.分析(1)连续应用平方差公式.观察(2)中各因式的特点,先添加因式(2-1),再利用平方差公式计算.解析(1)原式=(1-x2)(1+x2)=1-x4.(2)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216.点拨应用平方差公式时认准“两数”并对号入座,有时还会连续使用平方差公式.题型二平方差公式的逆用例2已知x2-y2=15,x+y=3,则x-y=.解析∵x2-y2=(x+y)(x-y)=15,x+y=3,∴x-y=5.答案5点拨已知两数的平方差,可以逆用平方差公式求两数的和或差.题型三利用平方差公式进行简便运算例3计算:(1)10 ×11 ;(2)20162-2015×2017.6717解析(1)10 ×11 = × =112- =121- =120 .(2)原式=20162-(2016-1)×(2016+1)=20162-(20162-1)=1.6717111711172171494849易错点由于对平方差公式的结构特征没掌握好,出现错用公式的现象例计算:(a+2)(b-2).错解原式=ab-4.错因分析没有掌握好平方差公式的结构特征,错用公式.正解原式=ab-2a+2b-4.知识点平方差公式1.(2018河南南阳邓州期中)下列计算错误的是 ()A.(6a+1)(6a-1)=36a2-1B.(a3-8)(-a3+8)=a9-64C.(-m-n)(m-n)=n2-m2D.(-a2+1)(-a2-1)=a4-1答案B(a3-8)(-a3+8)=-(a3-8)2=-(a6-16a3+64)=-a6+16a3-64,故选B.2.计算:20172-2016×2018=.答案1解析原式=20172-(2017-1)×(2017+1)=20172-(20172-1)=1.3.计算:(1)  +(-3+x)(-x-3);(2)  -(3a-2b)(3a+2b).122x122x12ab12ab解析(1)  +(-3+x)(-x-3)= x2-4+9-x2=5- x2.(2)  -(3a-2b)(3a+2b)=a2- b2-9a2+4b2=-8a2+ b2.122x122x143412ab12ab141544.用乘法公式计算:99.9×100.1-99.8×100.2.解析原式=(100-0.1)×(100+0.1)-(100-0.2)×(100+0.2)=1002-0.12-(1002-0.22)=1002-0.01-1002+0.04=0.03.5.(2016山东济南中考)先化简,再求值:a(1-4a)+(2a+1)·(2a-1),其中a=4.解析原式=a-4a2+4a2-1=a-1.当a=4时,原式=4-1=3.1.计算(3a-b)(-3a-b)等于 ()A.9a2-6ab-b2B.-9a2-6ab-b2C.b2-9a2D.9a2-b2答案C相同的项是-b,互为相反数的项是3a与-3a,故结果是(-b)2-(3a)2=b2-9a2.2.用平方差公式计算(2a+3b-1)(2a-3b+1),下列变形正确的是 ()A.[2a-(3b+1)]2B.[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]C.[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1]D.[2a-(3b-1)]2答案B平方差公式必须满足:(1)一项相同;(2)另一项互为相反数,所以(2a+3b-1)(2a-3b+1)=[2a+(3b-1)]·[2a-(3b-1)].3.化简:(x+y)(x-y)(x2+y2)=.答案x4-y4解析原式=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4.4.如果(a+b+1)(a+b-1)=63,那么a+b的值为.答案±8解析因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以a+b=±8.5.计算下列各题:(1)(-2x-y)(2x-y);(2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3);(3)(b-2)(b2+4)(b+2).解析(1)(-2x-y)(2x-y)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.(2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3)=4x2-[(-2x)2-32]=4x2-(4x2-9)=9.(3)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)=(b2-4)(b2+4)=b4-16.1.运用乘法公式计算:(1)(-2y2-3x)(3x-2y2);(2)a4-(1-a)(1+a)(1+a2);(3)10 ×9 ;(4)6×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)+1.1434解析(1)(-2y2-3x)(3x-2y2)=(-2y2-3x)(-2y2+3x)=(-2y2)2-(3x)2=4y4-9x2.(2)a4-(1-a)(1+a)(1+a2)=a4-(1-a2)(1+a2)=a4-(1-a4)=2a4-1.(3)原式= × =102- =100- =99 .(4)6×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)+1=(7-1)×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)+1=(72-1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)+1=(74-1)×(74+1)×(78+1)+1=(78-1)×(78+1)+1=(716-1)+1=716.1104110421411615162.先化简,再求值:(1)(x-8)(x+8)-x(x-1),其中x=- ;(2)(a-2b)2+(a-b)(a+b)-2(a-3b)(a-b),其中a= ,b=-3.1212解析(1)(x-8)(x+8)-x(x-1)=x2-64-x2+x=x-64,当x=- 时,原式=- -64=- .(2)原式=a2-4ab+4b2+a2-b2-2a2+8ab-6b2=4ab-3b2,当a= ,b=-3时,原式=4× ×(-3)-3×(-3)2=-33.1212129212121.计算9982-999×997= ()A.-1B.1C.0D.2答案B原式=9982-(998+1)×(998-1)=9982-(9982-1)=9982-9982+1=1.2.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是 ()A.3B.6C.10D.9答案C(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=10n2-10,10能整除(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n),故选C.3.先化简,再求值:(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2,其中a=1,b=-2.解析原式=a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab.当a=1,b=-2时,原式=12+1×(-2)=-1.一、选择题1.(2018甘肃景泰四中期中,5,★☆☆)下列各式中不能用平方差公式计算的是 ()A.(x-y)(-x+y)B.(-x+y)(-x-y)C.(-x-y)(x-y)D.(x+y)(-x+y)答案A(x-y)(-x+y)=-(x-y)(x-y)=-(x-y)2.二、解答题2.(2018广东云浮云城期末,17,★☆☆)先化简,再求值:(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x= .32解析原式=4-x2+x2+4x-5=4x-1,把x= 代入,得4x-1=4× -1=5.32323.(2016山东威海经济技术开发区期末,26,★★☆)乘法公式的探究和应用.(1)如图1-5-1①,阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式);(2)如图1-5-1②,若将阴影部分剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是,长是,面积是(写成多项式乘积的形式);图1-5-1(3)比较①②两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式;(用式子来表示)(4)运用你所得到的公式,计算10 ×9 .1323解析(1)a2-b2.(2)a-b;a+b;(a-b)(a+b).(3)(a-b)(a+b)=a2-b2.(4)原式= × =102- =99 .11031103213891.(2017安徽宿州期末,4,★☆☆)已知a+b=2,a-b=-3,则a2-b2的值为 ()A.6B.-6C.- D.-532答案B因为a+b=2,a-b=-3,所以a2-b2=(a+b)(a-b)=2×(-3)=-6.2.(2016山东济宁任城期中,5,★☆☆)下列算式能用平方差公式计算的是 ()A.(2a+b)(2b-a)B.(4x+1)(-4x-1)C.(2x-y)(2x-y)D.(-y+x)(-y-x)答案D能用平方差公式计算的是括号里的两项有一项相同,另一项互为相反数,只有选项D符合.3.(2018江苏苏州吴中统测,22,★★☆)先化简,再求值:(2a+b)(2a-b)-b(a-b),其中a=1,b=-2.解析原式=4a2-b2-ab+b2=4a2-ab.把a=1,b=-2代入,原式=4×12-1×(-2)=4+2=6.一、填空题1.(2018浙江金华中考,17,★☆☆)化简(x-1)(x+1)的结果是.答案x2-12.(2017广东深圳中考,15,★★☆)阅读理解:引入新数i,新数i满足分配律,结合律,交换律,已知i2=-1,那么(1+i)·(1-i)=.答案2解析由题意得,原式=1-i2=1-(-1)=2.二、解答题3.[201