（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（二） 平面向量

1课时达标训练(二)平面向量A组——抓牢中档小题1．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x＝________．解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.答案：42．(2018·无锡期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________．解析：因为a＝(2，1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为a－b与ma＋b垂直，所以(a－b)·(ma＋b)＝0，即2m＋1＋2(m－1)＝0，解得m＝14.答案：143．(2019·南京四校联考)设a，b是单位向量，且a·b＝13，向量c满足c·a＝c·b＝2，则|c|＝________．解析：法一：由题意可设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则c·a＝λ＋13μ＝2，c·b＝13λ＋μ＝2，所以λ＝μ＝32，所以|c|＝32|a＋b|＝32a2＋2a·b＋b2＝6.法二：由题意不妨令a＝(1，0)，b＝13，223.设c＝(x，y)，则c·a＝x＝2，c·b＝13x＋223y＝2，所以c＝(2，2)，所以|c|＝6.答案：64．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________．解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝22，∴〈a，b〉＝π4.答案：π45．(2019·南京三模)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·()a＋2b＝－5，则|c|的最小值为________．解析：设向量c与a＋2b的夹角为θ.由c·(a＋2b)＝－5，得|c|·|a＋2b|cosθ＝2－5，因为|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋2＋4＝7，所以|c|·7cosθ＝－5，则|c|＝－57cosθ.因为－1≤cosθ＜0，所以当cosθ＝－1时，|c|取得最小值，为577.答案：5776.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝π3，AB＝2，AC＝3，DC―→＝2BD―→，AE―→＝3ED―→―，则|BE―→|＝________．解析：BE―→＝BA―→＋AE―→＝BA―→＋34AD―→＝BA―→＋34(AC―→＋CD―→)，而CD―→＝23CB―→＝23(AB―→－AC―→)，故BE―→＝－12AB―→＋14AC―→，从而|BE―→|＝12AB―→2－AB―→·AC―→＋14AC―→2＝124－2×3×12＋94＝134.答案：1347．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．解析：法一：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－12a2＝－12b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52a2，|2a－b|＝（2a－b）2＝5a2－4a·b＝7|a|，所以cos〈a，2a－b〉＝a·（2a－b）|a|·|2a－b|＝52a2|a|·7|a|＝527＝5714.法二：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝2π3，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cos2π3＝52a2，|2a－b|＝（2a－b）2＝5a2－4a·b＝5a2－4|a|·|b|cos2π3＝7|a|.所以cos〈a，2a－b〉＝a·（2a－b）|a|·|2a－b|＝52a2|a|·7|a|＝527＝5714.答案：571438．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是对角线BD上的任意一点，则AP―→·AC―→＝________．解析：如图所示，由条件知△ABC为正三角形，AC⊥BP，所以AP―→·AC―→＝(AB―→＋BP―→)·AC―→＝AB―→·AC―→＋BP―→·AC―→＝AB―→·AC―→＝||AB―→×||AC―→cos60°＝2×2×12＝2.答案：29．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边上BC，DC上，BE―→＝tBC―→，DF―→＝mDC―→，若AE―→·AF―→＝1，CE―→·CF―→＝－23，则t＋m＝________．解析：因为AE―→＝AB―→＋BE―→＝AB―→＋tBC―→＝AB―→＋tAD―→；AF―→＝AD―→＋DF―→＝AD―→＋mDC―→＝AD―→＋mAB―→，所以AE―→·AF―→＝(AB―→＋tAD―→)·(AD―→＋mAB―→)＝－2－2tm＋4t＋4m＝1；CE―→·CF―→＝－2(1－t)(1－m)＝－2＋2m＋2t－2tm＝－23，联立－2－2tm＋4t＋4m＝1，－2＋2m＋2t－2tm＝－23，解得t＋m＝56.答案：5610．(2019·常州期末)平面内不共线的三点O，A，B，满足|OA―→|＝1，|OB―→|＝2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若|OC―→|＝32，则|OD―→|＝________．解析：法一：由点C为线段AB的中点，得OC―→＝OA―→＋OB―→2，又|OC―→|＝32，|OA―→|＝1，|OB―→|＝2，所以34＝1＋2OA―→·OB―→＋44，得cos∠AOB＝－12，∠AOB＝2π3.由S△AOD＋S△BOD＝S△AOB得12×|OA―→|×|OD―→|sinπ3＋12×|OB―→|×|OD―→|sinπ3＝12×|OA―→|×|OB―→|sin2π3，得|OD―→|＝23.法二：由点C为线段AB的中点，得OC―→＝OA―→＋OB―→2，又|OC―→|＝32，|OA―→|＝1，|OB―→4|＝2，所以34＝1＋2OA―→·OB―→＋44，得cos∠AOB＝－12，∠AOB＝2π3.以点O为坐标原点，OA―→所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，不妨令B(－1，3)，易知OD：y＝3x，AB：y＝－32(x－1)，联立得y＝3x，y＝－32（x－1），得D13，33，则|OD―→|＝132＋332＝23.答案：2311.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB―→·AD―→＝－7，则BC―→·DC―→的值是________．解析：因为BC―→·DC―→＝(OC―→－OB―→)·(OC―→－OD―→)＝(OC―→＋OD―→)·(OC―→－OD―→)＝OC2－OD2，同理：AB―→·AD―→＝AO2－OD2＝－7，所以OD2＝16，所以BC―→·DC―→＝OC2－OD2＝9.答案：912．已知A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足AP―→·BP―→＝2|PC―→|2，则|AP―→＋BP―→|的最大值为________．解析：设动点P(x，y)，因为A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，AP―→·BP―→＝2|PC―→|2，所以(x，y－1)·(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1.因为|AP―→＋BP―→|＝2x2＋y2，所以|AP―→＋BP―→|表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|AP―→＋BP―→|的最大值为2×(2＋1)＝6.答案：613．(2019·苏北三市一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足CP―→＝32PB―→＋2PA―→，则CP―→·AB―→的值为________.解析：法一：因为CP―→＝32PB―→＋2PA―→，所以AP―→－AC―→＝32(AB―→－AP―→)－2AP―→，得AP―→＝13AB―→＋29AC―→，所以CP―→·AB―→＝(AP―→－AC―→)·AB―→＝13AB―→＋29AC―→－AC―→·AB―→＝13AB―→52－79AC―→·AB―→＝43－79×3×2×cos60°＝－1.法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，因为AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，所以A(0，0)，B(2，0)，C32，332.设P(x，y)，由CP―→＝32PB―→＋2PA―→，得x－32＝32（2－x）＋2（0－x），y－332＝32（0－y）＋2（0－y），解得x＝1，y＝33，即P1，33，所以CP―→·AB―→＝1－32，33－332·(2，0)＝－1.答案：－114．(2019·盐城三模)已知圆O的半径为2，A，B，C为该圆上的三点，且AB＝2，BA―→·BC―→＞0，则OC―→·(BO―→＋BA―→)的取值范围是________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，其中BA与x轴平行，且位于x轴上方，点B在点A左侧，则结合题意得B(－1，3)，A(1，3)，设C(2cosθ，2sinθ)(－π≤θ≤π)，则BO―→＋BA―→＝(3，－3)，BA―→·BC―→＝(2，0)·(2cosθ＋1，2sinθ－3)＝2(2cosθ＋1)＞0，因为C与A，B都不重合，所以－2π3＜θ＜π3或π3＜θ＜2π3，所以OC―→·(BO―→＋BA―→)＝(2cosθ，2sinθ)·(3，－3)＝6cosθ－23sinθ＝43cosθ＋π6∈(－6，0)∪(0，43]．答案：(－6，0)∪(0，43]B组——力争难度小题1．在△ABC中，若BC―→·BA―→＋2AC―→·AB―→＝CA―→·CB―→，则sinAsinC的值为________．解析：由BC―→·BA―→＋2AC―→·AB―→＝CA―→·CB―→，得2bc·b2＋c2－a22bc＋ac·a2＋c2－b22ac＝ab·a2＋b2－c22ab，化简可得a＝2c.由正弦定理得，sinAsinC＝ac＝2.6答案：22．(2019·无锡期末)已知点P在圆M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B为圆C：x2＋(y－4)2＝4上两动点，且AB＝23，则PA―→·PB―→的最小值为________．解析：取AB的中点D，因为AB＝23，圆C的半径R＝2，所以CD＝4－3＝1，所以PA―→·PB―→＝(PD―→＋DA―→)·(PD―→＋DB―→)＝PD―→2－3.C(0，4)，M(a，a－2)，易知当C，D，P，M在一条直线上时，PD最小，此时，PD＝CM－CD－PM＝a2＋（a－6）2－2＝2（a－3）2＋18－2≥32－2(当且仅当a＝3时等号成立)，所以PA―→·PB―→＝PD―→2－3≥19－122，当a＝3时取到最小值19－122.答案：19－1223．在直角坐标系xOy中，已知三点A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)，若OA―→·OC―→＝OB―→·OC―→，则a2＋b2的最小值为________．解析：因为OA―→·OC―→－OB―→·OC―→＝0，所以BA―→·OC―→＝0，从而有(a－2，1－b)·(3，4)＝0，即3a－4b＝2.则(a，b)可视为直线l：3x－4y＝2上的动点，设其为P，则a2＋b2为坐标原点O到P的距离，故|OP|min＝d(O，l)＝232＋（－4）2＝25，故(a2＋b2)min＝252＝425.答案：4254.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若||AB―→＝3，||AC―→＝5，则(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)的值为________．解析：因为AP―→＝AQ―→＋QP―→，所以AP―→＋AQ―→＝2AQ―→＋QP―→，而AB―→－AC―→＝CB―→，由于QP―→⊥CB―→，所以QP―→·CB―→＝0，所以(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)＝(2AQ―→＋QP―→)·CB―→＝2AQ―→·CB―→，又因为Q是BC的中点，所以2AQ