九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理课件（新版）北师大版

3.3垂径定理第三章1课堂讲解圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.归纳利用折叠的方法，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.1知识点圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．要点精析：(1)圆的对称轴有无数条．(2)因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”．下列图形中，对称轴条数最多的是()A．线段B．正方形C．正三角形D．圆例1导引：线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角形有三条对称轴，圆有无数条对称轴．D总结过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是圆独有的性质．下列说法：(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个1过圆内一点A可以作出几条圆的对称轴，()A．1条B．2条C．无数条D．1条或无数条22知识点垂径定理如图,AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.归纳垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．用几何语言表述为：如图，在⊙O中，是直径于点AEBECDADBDCDABEACBC要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．(2)垂径定理中的弦可以为直径．(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．〈黄冈〉如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为()A．8B．10C．16D．20例2导引：连接OC.根据垂径定理，知CE＝CD＝6.在Rt△OEC中，设OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2.所以(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.D12DABCEO总结本题运用构造法，连接半径，根据AB⊥CD，构造Rt△OEC，再运用方程思想，设未知数，运用垂径定理和勾股定理列方程进行求解．某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60cm，水面至管道顶部的距离为10cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？例3导引：画出如图②所示的示意图，过圆心O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OB，若设⊙O的半径为rcm，在Rt△BOD中，利用勾股定理列出关于r的方程，继而解出r的值．②BODAC解：如图②，弦AB表示污水水面，点O为圆心，圆形管道的内径即为⊙O的直径．设半径为rcm，过点O作OC⊥AB于点D,与交于点C，根据垂径定理知，点D是AB的中点，点C是的中点，CD就是污水水面至管道顶部的距离．由题意可知：AB＝60cm，CD＝10cm，∴BD＝AB＝30cm，OD＝(r－10)cm.在Rt△DOB中，BD2＋OD2＝OB2，即302＋(r－10)2＝r2，解得r＝50.∴2r＝2×50＝100(cm)．答：修理人员应准备内径为100cm的管道．12ABAB总结本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用勾股定理求解．(2016·黄石)如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON等于()A．5B．7C．9D．111(2015·广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是()A．CE＝DEB．AE＝OEC.D．△OCE≌△ODE2BCBD如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()A．16B．18C．19D．203(2015·上海)如图，已知⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D.要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是()A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB43知识点垂径定理的推论如图,AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD)，交AB于点M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.归纳平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，要点精析：推论中涉及了两条弦，注意第一条弦不能为直径．(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧，是直径平分不是直径CDABCDCDABADBDABACBC即：如图，在⊙O中，(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，是直径平分CDCDABADBDCDABACBC是直径CDABCDAEBEADBDACBC拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦(不是直径)；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．下列说法正确的是()A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线一定经过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧例4C导引：经过弦的中点的直线有无数条，只有经过弦的中点且垂直于弦的直线才经过圆心并平分这条弦所对的弧，所以选项A，B错误．弦的垂线有很多，不一定平分弦所对的弧，所以选项D错误．平分弦所对两条弧的直线必垂直平分弦且经过圆心，所以选项C正确．如图,—条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点O是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.例5CDCDCD连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300(m).在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.解：1212如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC＝BD.求证：△OCD为等腰三角形．例6导引：要证△OCD为等腰三角形，只需证OC＝OD，就现有图形来看，有两个切入点：(1)利用线段垂直平分线上的点，则需作垂直于弦的直径；(2)利用全等三角形的对应边，则需作垂直于弦的直径或连半径．证明：过点O作OM⊥AB，垂足为M，如图.∵OM⊥AB，∴AM＝BM.∵AC＝BD，∴CM＝DM.又∵OM⊥CD，∴OC＝OD.∴△OCD为等腰三角形．总结(1)垂径定理及其推论在圆中涉及弦、弦心距、直径的命题中应用频率较高，虽然我们将其归纳为一个定理三个推论，但应用起来灵活多样，是我们在有关圆的命题中证线段相等、证垂直、证角相等时最常用的依据．(2)常见的作辅助线的方法有：若已知圆心，则作垂直于弦的直径；若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线，连半径等．(3)本例中我们只给出利用线段垂直平分线的性质的证明过程；而利用全等三角形的对应边，则可找出多种三角形的组合，请读者自己完成其证法．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为()A．8cmB.cmC．6cmD．2cm191如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的取值范围是()A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜521．圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2．垂径定理：(1)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦(不是直径)；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．