高中数学 第三章 基本初等函数 3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数 第1课时 指数函数的图

基本初等函数第三章3.1指数与指数函数第三章3.1.2指数函数第1课时指数函数的图象与性质1．指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫做________函数．指数函数的定义中对a＞0，a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性．①如果a＝0，当x＞0时，ax等于______，当x≤0时，ax________；②如果a＜0，例如y＝(－2)x，对于x＝12，14等都无意义；③如果a＝1，则y＝1x＝1是一个常函数．指数0无意义a＞10＜a＜1图象(1)图象位于______上方(2)图象过定点________(3)图象在第一象限内的纵坐标都________(4)图象在第二象限内的纵坐标都________图象特征(5)自左向右看，图象逐渐______(6)自左向右看，图象逐渐______2．指数函数的图象和性质x轴(0,1)大于1大于1上升下降a＞10＜a＜1性质(7)定义域______，值域__________(8)当x＞0时，y____1；x＜0时，0____y____1(9)当x＞0时，0____y____1；x＜0时，y____1(10)在(－∞，＋∞)上是________函数(11)在(－∞，＋∞)上是________函数R(0，＋∞)＞＜＜＜＜＞单调增单调减1．(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1[答案]C[解析]由题意得a2－3a＋3＝1，∴a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1(舍去)，∴a＝2.2．(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[答案]C[解析]y＝12x＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称．3．函数y＝2－x的图象是下图中的()[答案]B[解析]∵y＝2－x＝(12)x，∴函数y＝(12)x是减函数，且过点(0,1)，故选B．4．(2015·陕西文，4改编)设f(x)＝1－xx≥02xx0，则f[f(－2)]＝________.[答案]12[解析]f(－2)＝2－2＝14，f[f(－2)]＝f(14)＝1－14＝1－12＝12.5．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)＝ax－1＋2(a0，a≠1)恒过定点________．[答案](1,3)[解析]当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝3，故函数f(x)恒过定点(1,3)．6．若a2－5xax＋7(a0，且a≠1)，求x的取值范围．[解析](1)当a1时，y＝ax在R上单调递增．∵a2－5xax＋7，∴2－5xx＋7，即－6x－50，∴x－56.(2)当0a1，y＝ax在R上单调递减．∵a2－5xax＋7，∴2－5xx＋7，即－6x－50，∴x－56.综上可知，当a1时，不等式的解集为x|x－56；当0a1时，不等式的解集为x|x－56.课堂典例讲练下列函数中，哪些是指数函数？①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)；⑦y＝x10.[分析]根据指数函数的定义，只有形如y＝ax(a0，且a≠1)的函数才叫指数函数．[解析]①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；指数函数的定义③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．综上可知，①、⑥是指数函数．若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．[解析]∵函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，∴a－3＝12a－1＞0，2a－1≠1解得a＝4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0指数函数的图象和性质[分析]首先根据图象下降，判断a的范围，再根据图象与y轴的交点的纵坐标小于1，判断b的范围．[解析]由图象呈下降趋势可知0a1，又由图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知a－b1，即－b0，∴b0.[答案]D若函数y＝ax＋m－1(a0)的图象经过第一、三和第四象限，则()A．a1B．a1，且m0C．0a1，且m0D．0a1[答案]B[解析]y＝ax(a0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0a1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1－1，所以m0，故选B．比较下列各组数的大小：指数函数性质的应用(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2.[分析]底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用y＝ax的单调性；指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝ax与y＝bx的图象考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考察指数函数y＝1.7x，由于底数1.71，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.53，∴1.72.51.73.(2)考察函数y＝0.8x，由于00.81，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1－0.2，∴0.8－0.10.8－0.2.(3)由指数函数的性质得1．70.31.70＝1，0.93.10.90＝1，∴1.70.30.93.1.(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而89.∴816916，即233，又2＝212＝(25)110＝32110，55＝515＝(52)110，而2532，∴552.总之，55233.比较下列各题中两个值的大小．(1)0.3x与0.3x＋1；(2)12－2与212.[解析](1)∵y＝0.3x为减函数，又xx＋1，∴0.3x0.3x＋1.(2)化同底为：(12)－2＝22，与212，∵函数y＝2x为增函数，212.∴22212，即(12)－2212.函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．[分析]由f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)可知，f(x)是对称轴为x＝1的抛物线，从而可确定b的值；再结合f(0)＝3，可确定c的值，欲比较f(bx)与f(cx)的大小，只要判断bx、cx与1的大小，这由指数函数的性质不难得出结论．指数函数性质的综合应用[解析]∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1.即b2＝1⇒b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．若x≥0，则3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，若x0，则03x2x1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，∴f(3x)f(2x)，即f(cx)f(bx)，综上所述，f(cx)≥f(bx)．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f(13)、f(32)、f(23)的大小关系为__________．[答案]f(23)＜f(32)＜f(13)[解析]函数f(x)＝3x－1在(1，＋∞)上是增函数，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∵f(x)在(0,1)上单调递减，且f(12)＝f(32)．∵23＞12＞13，∴f(23)＜f(12)＜f(13)，∴f(23)＜f(32)＜f(13)．易错疑难辨析若函数f(x)＝ax－1(a0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．[辨析]误解中没有对a进行分类讨论．[错解]∵函数f(x)＝ax－1(a0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴a0－1＝0a2－1＝2，∴a＝3.故实数a的值为3.[正解]当a1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，由题意可知，a0－1＝2a2－1＝0，解得a＝3.当0a1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，由题意可知，a0－1＝2a2－1＝0，此时a无解．综上所述，a＝3.思想方法技巧1．幂的大小比较方法在进行幂值的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果．若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果．有时化成同指数，用两个函数图象的分布规律解决．如比较233与(34)32的大小．在同一坐标系中作出函数y＝(49)x与y＝(34)x的图象考察x＝32时，y值大小．∵4934，∴(49)32(34)32，∴(23)3(34)32.故比较幂值的大小：①如果底数与指数都不相同时，能化同底则先化同底，不能化为同底，就化为同指数．指数相同的用图象；底数相同的用性质．②借助于中间量0，±1等等．③含有字母的要分类讨论．比较下列各组数的大小：(1)1.6－π与1.6－3；(2)0.60.4与0.40.6；(3)4313，223，－233，3412.[解析](1)∵指数函数y＝1.6x在R上单调递增，而－π－3，∴1.6－π1.6－3.(2)∵y＝0.6x在R上单调递减，∴0.60.40.60.6；又∵在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，∴0.60.60.40.6，∴0.60.40.40.6.(3)∵－2330，43131,2231,034121，又∵在y轴右侧，函数y＝43x的图象在y＝4x图象的下方，∴4313413＝223.∴－23334124313223.2．指数函数图象的变换方法指数函数y＝ax(a0，a≠1，x∈R)的图象变换如下：利用函数y＝(12)x的图象，作出下列各函数的图象：(1)y＝(12)x－1;(2)y＝(12)x－1；(3)y＝－(12)x;(4)y＝(12)－x.[解析]图象如图所示：