八年级数学下册 第19章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式课件 （

初中数学（人教版）八年级下册第十九章一次函数知识点一一次函数与一元一次方程内容叙述从“数”上看从“形”上看一次函数与一元一次方程的关系由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a,b为实数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为求某个一次函数的函数值为0时的自变量的值方程ax+b=0(a≠0)的解⇔函数y=ax+b(a≠0)中,y=0时对应的x的值方程ax+b=0(a≠0)的解⇔函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数.(2)画图象:画出一次函数的图象.(3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解例1画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解.分析画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1=0的解,也就是1-2x=0的解.解析如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为 , 图19-2-3-1∴方程2x-1=0的解为x= ,即方程1-2x=0的解为x= .1,021212知识点二一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式将一元一次不等式转化为ax+b0(或ax+b0)(a、b为常数,a≠0)的形式,则解一元一次不等式可以看作:当一次函数的函数值大于0(或小于0)时,求自变量x的取值范围,也可以把一次函数y=ax+b的图象在x轴上方(或下方)的点所对应的x的取值集合看作不等式ax+b0(或ax+b0)的解集举例如图是一次函数y=-2x-2的图象,从图中可以看出,当x-1时,函数值大于0,所以不等式-2x-20的解集是x-1;同理,不等式-2x-20的解集是x-1 例2用画函数图象的方法解不等式3x+22x-1.解析解法一:原不等式可化为x+30.画出函数y=x+3的图象(如图19-2-3-2所示). 图19-2-3-2由图象可以看出:当x-3时,这条直线上的点在x轴上方,∴不等式3x+22x-1的解集为x-3.解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象(如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.图19-2-3-3当x-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点的上方,此时3x+22x-1,故不等式3x+22x-1的解集为x-3.温馨提示一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低.知识点三一次函数与二元一次方程(组)的关系一次函数与二元一次方程一次函数与二元一次方程组内容一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以:1.二元一次方程⇔一次函数⇔一条直线;2.二元一次方程的解⇔一次函数两变量的对应值⇔直线上点的坐标1.二元一次方程组⇔两个一次函数⇔两条直线;2.二元一次方程组的解⇔两个一次函数值相等时自变量的值及函数值⇔两条直线的交点坐标知识详解1.两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系:(1)两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一个解;(2)两条直线无交点(平行)⇔方程组无解;(3)两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数个解.2.用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤:(1)转函数:把两个方程转化为两个一次函数的形式;(2)画图象:在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象;(3)找交点:根据交点坐标写出方程组的解温馨提示从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于求两条直线的交点坐标例3用作图象的方法解方程组 27,38.xyxy分析把方程组转化为两个一次函数,即y=2x-7和y=-3x+8,然后在同一直角坐标系内画出图象,仔细观察图象,找出交点坐标即可求解.解析由2x-y=7,得y=2x-7;由3x+y=8,得y=-3x+8.在同一直角坐标系内作出函数y=2x-7的图象l1和y=-3x+8的图象l2,如图19-2-3-4所示,由图象知l1与l2的交点坐标为P(3,-1).经检验 满足2x-y=7,3x+y=8,故方程组 的解为 3,1xy27,38xyxy3,1.xy图19-2-3-4温馨提示由于所画图象有误差,所以用图象法求出的方程组的解多数情况下是近似解,可以通过检验知道它是否正确,这种解法很直观,对理解数形结合思想很有帮助.例1(2015山东济南中考)如图19-2-3-5所示,一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的不等式x+bkx+4的解集是 () 图19-2-3-5A.x-2B.x0C.x1D.x1题型一利用函数图象解不等式解析由图象可知,当x1时,函数y1=x+b的图象在y2=kx+4的图象的上方,∴关于x的不等式x+bkx+4的解集为x1.故选C.答案C解题归纳本题考查了利用一次函数的图象解不等式,解答本题也可以利用待定系数法求出两函数解析式,再解不等式.例2已知一次函数的图象过点A(1,4),B(-1,0),求该一次函数的解析式并画出它的图象,再利用图象求:(1)当x为何值时,y0,y=0,y0;(2)当-3x0时,y的取值范围;(3)当-2≤y≤2时,x的取值范围.题型二一次函数图象与方程、不等式的综合应用分析首先用待定系数法求出一次函数的解析式,然后在平面直角坐标系中描出A(1,4),B(-1,0)两点,过这两点画直线,再结合图象,解答各问题.解析设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),把点A(1,4),B(-1,0)分别代入y=kx+b中,得 解得 所以该一次函数的解析式为y=2x+2.一次函数y=2x+2的图象如图19-2-3-6所示. 图19-2-3-6(1)由图象可知,直线y=2x+2与x轴交于点(-1,0),4,0,kbkb2,2.kb当x-1时,y0;当x=-1时,y=0;当x-1时,y0.(2)由图象可知当-3x0时,-4y2.(3)由图象可知当-2≤y≤2时,-2≤x≤0.方法点拨在(1)中利用图象解方程或不等式时,关键是确定图象与x轴的交点坐标,实际解题时可能会有误差,应注意先通过观察得出坐标的近似值,再代入方程验证后方可确认.例3(2015贵州六盘水中考)联通公司手机话费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式;(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样?(3)什么情况下A套餐更省钱?题型三解与不等式有关的问题解析(1)A套餐的收费与月通话时间的函数关系式为y1=0.1x+15;B套餐的收费与月通话时间的函数关系式为y2=0.15x.(2)由0.1x+15=0.15x,解得x=300,故当月通话时间是300分钟时,A、B两种套餐收费一样.(3)由0.1x+150.15x,解得x300,故当月通话时间大于300分钟时,A套餐更省钱.易错点不能正确理解图象导致错解不等式例已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限,求m的取值范围.正解由题意,得 解得 又∵交点在第三象限,∴ 解得-1m .21,3,yxyxm1,523,5mxmy10,5230,5mm32错解∵直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限,∴直线y=3x+m经过第三象限,∴m0.错解警示两条直线相交于第三象限并不代表直线y=kx+b中的b0,应先求出用含有m的式子表示的交点坐标,再求出m的取值范围.1.直线y=3x+9与x轴的交点坐标是 ()A.(0,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(3,0)知识点一一次函数与一元一次方程答案B当y=0时,3x+9=0,解得x=-3.故直线与x轴的交点坐标为(-3,0).2.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x=.答案2解析由一次函数与一元一次方程的关系可知一次函数图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解,即x=2.知识点二一次函数与一元一次不等式3.(2017湖南湘潭中考)一次函数y=ax+b的图象如图19-2-3-1所示,则不等式ax+b≥0的解集是 () 图19-2-3-1A.x≥2B.x≤2C.x≥4D.x≤4答案B通过观察图象可以看出ax+b≥0的解集是x≤2,故选B.4.如图19-2-3-2所示,一次函数y=kx+b(k0)的图象经过点A(2,3).当y3时,x的取值范围是. 图19-2-3-2答案x2解析因为直线呈下降趋势,点A的坐标为(2,3),所以求当y3时x的取值范围,即求直线上纵坐标小于3的点所对应的横坐标的取值集合,从图象上可以看出x的取值范围为x2.知识点三一次函数与二元一次方程(组)的关系5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为,则方程组 的解为.47,1xyxy答案(2,-1); 21xy解析在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=1,故方程组 的解为  47,1xyxy2,1.xy如图,两直线l1,l2的交点坐标(2,2)可以看作关于x,y的方程组的解,求这个方程组. 由题意可得 解得 所以直线l1对应的函数解析式为y=-2x+6.由题图可知,直线l2经过点(6,0)和点(2,2),设直线l2:y=k2x+b2(k2≠0),由题意可得 解得 所以直线l2对应的函数解析式为y=- x+3,所以所求方程组为 1116,22,bkb116,2,bk222260,22,kbkb221,23.kb1226,13.2yxyx解析由题图知,直线l1经过点(0,6)和点(2,2),设直线l1:y=k1x+b1(k1≠0),1.(2014湖北孝感中考)如图19-2-3-3,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+mnx+4n0的整数解为 () 图19-2-3-3A.-1B.-5C.-4D.-3答案D∵直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,且x-2时,y=-x+m的图象在y=nx+4n的图象的上方,∴关于x的不等式-x+mnx+4n的解集为x-2.令y=nx+4n=0,得x=-4,∴nx+4n0的解集是x-4,∴-x+mnx+4n0的解集是-4x-2,故所求的整数解为-3.2.已知直线y=2x-4与y=5-x.(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;(2)求出它们的交点A的坐标;(3)求出这两条直线与y轴围成的三角形的面积.解析(1)如图. (2)因为点A同时在两条直线上,所以点A的坐标就是方程组 的解.解方程组得 所以点A的坐标为(3,2).24,5yxyx3,2,xy(3)由图象可知BC=9,故两条直线与y轴围成的三角形的面积S△ABC= BC·|xA|= ×9×3= .12122721.如图,已知直线y1=x+m与y2=kx-1相交于点P(-1,a),则关于x的不等式x+mkx-1的解集在数轴上表示正确的是 ()  答案B由图象知,当x-1时,函数y1=x+m的图象在y2=kx-1的图象上方,故不等式x+mkx-1的解集为x-1.故选B.2.(2017山东滨