2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题

高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题三角函数的图象和性质题型一师生共研例1(2019·山东省淄博实验中学、淄博五中月考)已知向量m＝(2cosωx，－1)，n＝(sinωx－cosωx,2)，其中ω0，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)图象的两个相邻对称中心的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；π2解由题意可得f(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin2ωx－π4.由题意知，T＝2π2ω＝π，得ω＝1，则f(x)＝2sin2x－π4.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z).(2)将函数f(x)的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)的图象，当x∈π6，π2时，求函数g(x)的值域.解将f(x)的图象向左平移π4个单位长度，得到y＝2sin2x＋π4的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到g(x)＝2sin4x＋π4的图象.∵x∈π6，π2，∴4x＋π4∈11π12，9π4，∴－1≤sin4x＋π4≤22，故函数g(x)的值域为[－2，1].三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1设f(x)＝sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；23解由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)或kπ－π12，kπ＋5π12k∈Z.(2)把函数y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求的值.π3gπ6解由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.所以gπ6＝2sinπ6＋3－1＝3.解三角形题型二答题模板例2(12分)(2019·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.A＋C2解由题设及正弦定理，得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.[2分]因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，[3分]故cosB2＝2sinB2cosB2.[5分]因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.[6分]规范解答(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.解由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝34a.[8分]由正弦定理，得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.[10分]由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.所以0°120°－C90°，所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.[12分]第一步：利用正弦定理将边角关系转化为角之间的关系；答题模板DATIMUBAN第二步：通过角之间的关系sinA＋C2＝sinB转化为cosB2＝sinB，进而求出B；第三步：将三角形的面积转化为只含一个变量的函数S＝34a；第四步：利用正弦定理把a转化为a＝32tanC＋12，然后通过题中条件求出C的范围，进而得出a的范围，最后得出面积S的范围.跟踪训练2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝，b＝2.(1)求角A和边长c；327解∵sinA＋3cosA＝0，∴tanA＝－3，又0Aπ，∴A＝2π3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－2×2c×－12，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.∴16＝28＋4－2×27×2×cosC，解∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝27，∴CD＝ACcosC＝227＝7，∴CD＝12BC，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×4×2×32＝23，∴S△ABD＝12S△ABC＝3.三角函数和解三角形的综合应用题型三师生共研例3(2019·洛阳模拟)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).2π3AB42(1)若弦BC＝4(3－1)，求的长；BC解在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝42，所以由余弦定理得cos∠BOC＝OB2＋OC2－BC22OB·OC＝32，所以∠BOC＝π6，于是的长为π6×42＝22π3.BC(2)求四边形OACB面积的最大值.解设∠AOC＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC＝2π3－θ，S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝12×42×42sinθ＋12×42×42·sin2π3－θ＝24sinθ＋83cosθ＝163sinθ＋π6.由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB的面积取得最大值163.三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响.思维升华SIWEISHENGHUA(1)求函数f(x)的值域；跟踪训练3已知函数f(x)＝4sinx·cosx＋π3＋3，x∈0，π6.解f(x)＝4sinx12cosx－32sinx＋3＝2sinxcosx－23sin2x＋3＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.∵0≤x≤π6，∴π3≤2x＋π3≤2π3，∴32≤sin2x＋π3≤1，∴函数f(x)的值域为[3，2].(2)已知锐角△ABC的两边长a，b分别为函数f(x)的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积.324解依题意a＝3，b＝2，△ABC的外接圆半径r＝324，∴sinA＝a2r＝3322＝63，sinB＝b2r＝2322＝223，∴cosA＝33，cosB＝13，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝63×13＋33×223＝63，∴S△ABC＝12absinC＝12×3×2×63＝2.基础保分练1.在△ABC中，A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；课时精练解在△ABC中，因为A＝60°，c＝37a，1234537所以由正弦定理得sinC＝csinAa＝37×32＝3314.(2)若a＝7，求△ABC的面积.12345解因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去).所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×3×32＝63.123452.设函数f(x)＝2tanx4·cos2x4－2cos2x4＋π12＋1.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；12345得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，解f(x)＝2sinx4cosx4－cosx2＋π6＝sinx2－cosx2＋π6＝sinx2－32cosx2＋12sinx2＝3sinx2－π6.由x4≠π2＋kπ(k∈Z)，故f(x)的最小正周期为T＝2π12＝4π.12345(2)求f(x)在[－π，0]上的最值.解∵－π≤x≤0，∴－2π3≤x2－π6≤－π6.∴当x2－π6∈－2π3，－π2，即x∈－π，－2π3时，f(x)单调递减，当x2－π6∈－π2，－π6，即x∈－2π3，0时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f－2π3＝－3，又f(0)＝－32，f(－π)＝－32，∴f(x)max＝f(0)＝－32.1234512345(1)求函数f(x)的解析式；3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象过点Pπ12，0，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为π3，6.12345解设f(x)的最小正周期为T，由题意得A＝6，T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝6sin(2x＋φ)，又f(x)过点π3，6，∴6sin2×π3＋φ＝6，∴2×π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－π6，k∈Z.又|φ|π2，∴φ＝－π6，∴f(x)＝6sin2x－π6.12345(2)若f(x)3，求x的取值范围.12345解6sin2x－π63，即sin2x－π612，在一个周期－3π2，π2中，要使sin2x－π612，则－7π62x－π6π6，∴－7π6＋2kπ2x－π6π6＋2kπ，k∈Z，解得kπ－π2xkπ＋π6，k∈Z.∴x的取值范围为xkπ－π2xkπ＋π6，k∈Z.4.已知点P(3，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝OP→·QP→.技能提升练12345(1)求函数f(x)的最小正周期；解由已知，得OP→＝(3，1)，QP→＝(3－cosx,1－sinx)，所以f(x)＝OP→·QP→＝3－3cosx＋1－sinx＝4－2sinx＋π3，所以函数f(x)的最小正周期为2π.12345(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值.12345解因为f(A)＝4，所以sinA＋π3＝0，又0Aπ，所以π3A＋π34π3，所以A＝2π3.因为BC＝3，所以BCsinA＝23，所以由正弦定理，得AC＝23sinB，AB＝23sinC，所以△ABC的周长为3＋23sinB＋23sinC＝3＋23sinB＋23sinπ3－B＝3＋23sinB＋π3.12345因为0Bπ3，所以π3B＋π32π3，所以当B＋π3＝π2，即B＝π6时，△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋23.注：本题也可用基本不等式法求解.123455.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋t(ω0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0).(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；拓展冲刺练3π4