2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 解三角形课件 理 新人教A版

§4.6解三角形1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.最新考纲以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则知识梳理定理正弦定理余弦定理内容(2)a2＝；b2＝；c2＝_________________(1)asinA＝______＝_____＝2RbsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝，c＝；(4)sinA＝，sinB＝_____，sinC＝_____；(5)a∶b∶c＝；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝_________；cosB＝___________；cosC＝___________a2Rb2Rc2Rb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22ab2RsinBsinA∶sinB∶sinC2RsinC2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高).(2)S＝12absinC＝＝.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).12acsinB12bcsinA3.测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθhl1.若角α，β在第一象限，αβ能否推出sinαsinβ？在△ABC中，AB是否可推出sinAsinB?概念方法微思考提示第一象限的角αβ不能推出sinαsinβ.在△ABC中，由AB可推出sinAsinB.2.在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sinA满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.提示图形关系式absinAbsinAaba＝bsinA或a≥b解的个数无解两解一解1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形.()基础自测题组一思考辨析(3)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.()√(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()××√题组二教材改编即A＝B或A＋B＝π2，2.在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为.等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.解析∵23sin60°＝4sinB，∴sinB＝1，∴B＝90°，3.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝，则△ABC的面积为.2323∴AB＝2，∴S△ABC＝12×2×23＝23.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab4.已知△ABC的三边之比为3∶5∶7，则其最大的内角为.2π3解析由三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，C为最大内角，＝3k2＋5k2－7k22×3k×5k＝－12，又0Cπ，所以C＝2π3.题组三易错自纠5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形√解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，∴sin(A＋B)sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinBsinBcosA，又sinA0，∴cosB0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形.6.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.解析由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.2π3又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.典题深度剖析重点多维探究题型突破利用正弦、余弦定理解三角形题型一师生共研例1(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝.75°解析由正弦定理，得sinB＝bsinCc＝6sin60°3＝22，所以B＝45°或135°，因为bc，所以BC，故B＝45°，所以A＝75°.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为.366解析设AB＝a，∵AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝2a3，BC＝4a3.在△ABD中，cos∠ADB＝a2＋4a23－a22a×2a3＝33，∴sin∠ADB＝63，∴sin∠BDC＝63.在△BDC中，BDsinC＝BCsin∠BDC，∴sinC＝BD·sin∠BDCBC＝66.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于A.42B.30C.29D.25√解析∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝32＝42.故选A.(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝.1解析因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.正弦定理、余弦定理的应用题型二多维探究命题点1判断三角形的形状例2(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形√解析方法一由余弦定理可得a＝2b·a2＋b2－c22ab，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形.方法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，因此sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC为等腰三角形.(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定√解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形.π2引申探究1本例(1)中，若将条件变为a＝bcosC，判断△ABC的形状.解∵a＝bcosC，∴sinA＝sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC，∴cosBsinC＝0，∵sinC0，∴cosB＝0.∵B∈(0，π)，∴B＝.∴△ABC为直角三角形.π2引申探究2本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状.解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，∴C＝π3，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形.命题点2三角形面积的计算例3(2019·淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cosA＝acosC.(1)求角A；解因为(2b－c)cosA＝acosC，所以(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)，由A＋B＋C＝π，得2sinBcosA＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝12，因为0Aπ，所以A＝π3.解由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得13＝b2＋c2－2bc·12，即(b＋c)2－3bc＝13，(2)若a＝13，△ABC的面积为33，求△ABC的周长.因为S△ABC＝12bc·sinA＝34bc＝33，所以bc＝12，所以(b＋c)2－36＝13，即b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋13.命题点3求解平面图形问题例4如图，在四边形ABCD中，∠DAB，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；＝π37解因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k,k＞0.又BD＝7，∠DAB＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcosπ3，解得k＝1，sin∠ABD＝ADsin∠DABBD＝2×327＝217.所以AD＝2，AB＝3，解因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝217，(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长.所以sin∠DBC＝277，所以BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，所以CD＝7×27732＝433.(1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.(2)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.(3)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示.②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，B2a＋c2c√∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形.(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为.因为sinBsinC≠0，所以sinA＝12.解析由bsinC＋csinB＝4asinBsinC，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，233因为b2＋c2－a2＝8，所以cosA＝b2＋c2－a22bc0，所以bc＝833，所以S