2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应

§4.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象的变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.最新考纲以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，加强数形结合思想的应用意识，题型为选择题和填空题，中档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.简谐运动的有关概念知识梳理y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝____ωx＋φφ2πωf＝1T＝ω2π2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A00－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωπ23π23.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径.1ω|φ|1ωAAφω1.怎样从y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的图象？概念方法微思考2.函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？提示向左平移φω个单位长度.提示对称轴是直线x＝kπω＋π2ω－φω(k∈Z)，对称中心是点kπω－φω，0(k∈Z).1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测题组一思考辨析(1)y＝sinx－π4的图象可由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到.()(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，可以得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象.()(3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()T2√×√(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.()1212×题组二教材改编2.为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象向____平移______________个单位长度.右π6(答案不唯一)3.函数y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为______________.2，14π，－π34.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0φπ，则这段曲线的函数解析式为_______________________________.y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0φπ，所以φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14].题组三易错自纠5.要得到函数y＝sin4x＋π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度√解析∵y＝sin4x＋π3＝sin4x＋π12，∴要得到y＝sin4x＋π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度.6.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则使f(x＋m)－f(m－x)＝0成立的m的最小正值为______.π12解析由函数图象可知A＝1，又T4＝7π12－π3＝π4，T＝π，所以ω＝2πT＝2，因为函数图象过点π3，0，代入解析式可知sin2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.因为|φ|π2，所以2π3＋φ＝π，φ＝π3，所以函数解析式为f(x)＝sin2x＋π3，由2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，可得其对称轴x＝kπ2＋π12，k∈Z.因为f(x＋m)－f(m－x)＝0，即f(x＋m)＝f(m－x)，所以x＝m是函数的一条对称轴，当k＝0时，m的最小正值为m＝π12.典题深度剖析重点多维探究题型突破函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换题型一师生共研例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，解因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；解因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6.列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？解将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx＋π6的图象，再将y＝sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将y＝sin2x＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin2x＋π6的图象.引申探究1若将本例中函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝____________.2sinx＋56π解析f(x)向左平移π3个单位长度后得y＝2sin2x＋π3＋π6＝2sin2x＋56π，再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得g(x)＝2sinx＋56π.引申探究2解由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin2x－m＋π6＝2sin2x－2m－π6是偶函数，若将本例中函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值.所以2m－π6＝π2＋kπ，k∈Z，得m＝kπ2＋π3，k∈Z，又因为m0，所以m的最小值为π3.(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π12个单位长度D.向左平移π12个单位长度√解析因为y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4＝2cos3x－π12，所以将函数y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位长度后，可得到y＝2cos3x－π4的图象，故选C.(2)将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为A.x＝π2B.x＝π8C.x＝π9D.x＝π√解析将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y＝cosx2－π3的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y＝cos12x＋π6－π3＝cosx2－π4的图象，该函数图象的对称轴满足x2－π4＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋π2(k∈Z).结合选项，只有A符合，故选A.(3)已知函数f(x)＝sinωx＋π6(0ω2)满足条件f－12＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cosωx的图象向右平移m(m0)个单位长度，则m的最小值为A.1B.12C.π6D.π2√解析由题意得sin－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝kπ(k∈Z)，则ω＝π3－2kπ(k∈Z)，结合0ω2，得ω＝π3，所以f(x)＝sinπ3x＋π6＝cosπ2－π3x－π6＝cosπ3x－1，所以只需将函数g(x)＝cosπ3x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式题型二自主演练1.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.2－π3由题中图象可知34T＝5π12－－π3得T＝π，解析设f(x)的最小正周期为T，则ω＝2πT＝2ππ＝2，又图象过点5π12，2，则f5π12＝2，即2sin5π6＋φ＝2，则sin5π6＋φ＝1.∵－π2φπ2，∴π3φ＋5π64π3，∴5π6＋φ＝π2，∴φ＝－π3.2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象如图所示，fπ2＝－23，则f－π6＝________.－23由题图可知T2＝11π12－7π12＝π3，解析方法一设f(x)的最小正周期为T，所以T＝2π3，ω＝3，当x＝7π12时，y＝0，即3×7π12＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－9π4，k∈Z，因为|φ|π2，所以k＝1，φ＝－π4，所以f(x)＝Acos3x－π4.又fπ2＝Acos3π2－π4＝－23，所以A＝223，所以f(x)＝223cos3x－π4，故f－π6＝223cos－π2－π4＝－23.方法二同方法一得f(x)的周期T＝2π3，所以f－π6＝f－π6＋2π3＝fπ2＝－23.3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为____________________.xx＝kπ－π3，k∈Z解析方法一根据题干所给图象，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|π2，得φ＝－π6，∴f(x)＝sin2x－π6，∴fx＋π6＝sin2x＋π6，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝fx＋π6取得最小值.又由图象可知当x＝π3－π2＝－π6时