2021高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 离散型随机变量的分布列、均值与

§12.3离散型随机变量的分布列、均值与方差.1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.最新考纲以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法.在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量.(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表知识梳理Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn一一列出为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_____.之和概率i＝1npi＝1其中0p1，则称离散型随机变量X服从.其中p＝P(X＝1)称为成功概率.2.两点分布如果随机变量X的分布列为两点分布X01P1－pp(1)均值称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的.3.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn平均水平(2)方差称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差.4.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝.(2)D(aX＋b)＝.(a，b为常数)i＝1n(xi－E(X))2piDXaE(X)＋ba2D(X)5.超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝__________(k＝0,1,2，…，m)，即CkMCn－kN－MCnNX01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()基础自测题组一思考辨析√×√√2.设随机变量X的分布列如下：题组二教材改编X12345P112161316p则p为A.16B.13C.14D.112√解析由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A.B.4C.－1D.1X－101P1213163.已知X的分布列为√解析E(X)＝－12＋16＝－13，73E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________.解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.0,1,2,3题组三易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数√解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______.解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，27220故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.典题深度剖析重点多维探究题型突破分布列的求法题型一师生共研例1甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.34，23，12.解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝1－34×1－23×1－12＝124，P(X＝1)＝14×13×12＋14×23×12＋34×13×12＝14，P(X＝2)＝14×23×12＋34×13×12＋34×23×12＝1124，P(X＝3)＝34×23×12＝14.∴随机变量X的分布列为X0123P12414112414求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；解该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝C14C16＋C24C210＝3045＝23.或用间接法，即P＝1－C26C210＝1－1545＝23.(2)该顾客获得的奖品总价值X元的分布列.解依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝60)＝C11C13C210＝115.P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，所以X的分布列为X010205060P1325115215115例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.均值与方差题型二师生共研792935，13和115.解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200.X1300－150P7929X2500－3000P3513115＝35000，∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；14，1612，23甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.解两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ).解ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝0)＝14×16＝124，P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.超几何分布题型三师生共研例3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；解记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.解由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ck3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3).∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为ξ0123P72421407401120(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题.②随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事).②已知各类对象的个数.③从中抽取若干个个体.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练3某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生