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§6.2等差数列及其前n项和1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.最新考纲主要考查等差数列的基本运算、基本性质,等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度为中低档.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的差等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,通常用字母___表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是.3.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的.知识梳理第2项同一个常数公差dan=a1+(n-1)d等差中项4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为____的等差数列.(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.(7)若{an}是等差数列,则Snn也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差为12d.(n-m)dak+al=am+an2dmd5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=_________或Sn=______________.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中,a10,d0,则Sn存在最值;若a10,d0,则Sn存在最值.na1+an2na1+nn-12dSn=d2n2+a1-d2n.大小提示充要条件.概念方法微思考1.“a,A,b是等差数列”是“A=a+b2”的什么条件?2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗?提示不一定.当公差d=0时,Sn=na1,不是关于n的二次函数.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()基础自测×√×√解析由已知可得a1+5d=2,5a1+10d=30,题组二教材改编2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于A.31B.32C.33D.34√解得a1=263,d=-43,∴S8=8a1+8×72d=32.3.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=______.180解析由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.4.一个等差数列的首项为125,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是A.d875B.d325C.875d325D.875d≤325题组三易错自纠√解析由题意可得a101,a9≤1,即125+9d1,125+8d≤1,所以875d≤325.故选D.5.若等差数列{an}满足a7+a8+a90,a7+a100,则当n=_____时,{an}的前n项和最大.8解析因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a80,所以a80.又a7+a10=a8+a90,所以a90.故当n=8时,其前n项和最大.6.一物体从1960m的高空降落,如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过_____秒落到地面.所以4.90t+12t(t-1)×9.80=1960,20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.即4.90t2=1960,解得t=20.典题深度剖析重点多维探究题型突破1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于A.-12B.-10C.10D.12得33a1+3×3-12×d=2a1+2×2-12×d+4a1+4×4-12×d,等差数列基本量的运算自主演练题型一√解析设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.故选B.2.(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是_____.16解析方法一设等差数列{an}的公差为d,则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=a21+4d2+5a1d+a1+7d=0,S9=9a1+36d=27,解得a1=-5,d=2,则S8=8a1+28d=-40+56=16.方法二∵S9=a1+a92×9=27,∴a1+a9=6,∴a2+a8=2a5=6,∴a5=3,则a2a5+a8=3a2+a8=0,即2a2+6=0,∴a2=-3,则a8=9,∴其公差d=a8-a58-5=2,∴a1=-5,∴S8=8×a1+a82=16.C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n3.(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则A.an=2n-5B.an=3n-10√∵S4=0,a5=5,∴4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,解析设等差数列{an}的公差为d,∴an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+nn-12d=n2-4n.故选A.所以S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1=10025=4.解析设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1,44.(2019·全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=_____.(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.思维升华SIWEISHENGHUA例1已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;等差数列的判定与证明题型二师生共研解由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)证明数列ann是等差数列,并求{an}的通项公式.解由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得nan+1-n+1annn+1=2,即an+1n+1-ann=2,所以ann是首项为a11=1,公差为2的等差数列,则ann=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.思维升华SIWEISHENGHUA(1)求证:数列1an-1是等差数列,并求an的通项公式;跟踪训练1在数列{an}中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.解∵an是1与anan+1的等差中项,∴2an=1+anan+1,∴an+1=2an-1an,∴an+1-1=2an-1an-1=an-1an,∴1an+1-1=anan-1=1+1an-1,∵1a1-1=1,∴数列1an-1是首项为1,公差为1的等差数列,∴1an-1=1+(n-1)=n,∴an=n+1n.(2)求数列1n2an的前n项和Sn.解由(1)得1n2an=1nn+1=1n-1n+1,∴Sn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.∴S7=7a1+a72=7a4=14.命题点1等差数列项的性质例2(2019·江西省南昌江西师范大学附属中学模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,2+a5=a6+a3,则S7等于A.2B.7C.14D.28√等差数列性质的应用题型三多维探究解析∵2+a5=a6+a3,∴2+a4+d=a4+2d+a4-d,解得a4=2,故选C.命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)(2020·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于A.35B.42C.49D.63√解析在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2018,S20192019-S20132013=6,则S2020=________.∴S2020=1×2020=2020.2020解析由等差数列的性质可得Snn也为等差数列.设其公差为d,则S20192019-S20132013=6d=6,∴d=1.故S20202020=S11+2019d=-2018+2019=1,等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列{an}中,①an=am+(n-m)d(m,n∈N*),d=②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).②依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.思维升华SIWEISHENGHUAan-amn-m.A.1316B.1314C.1116D.1115跟踪训练2(1)(2020·贵州省遵义绥阳中学模拟)已知等差数列{an}、等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnTn=n+2n+1,则a6b8的值是√解析因为等差数列{an}、等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,SnTn=n+2n+1,所以SnTn=n+2n+1=nn+2nn+1,不妨令Sn=n(n+2),Tn=n(n+1),所以an=Sn-Sn-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1(n≥2),bn=Tn-Tn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n(n≥2),所以a6b8=2×6+12×8=1316.故选A.(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S130,S140,则Sn取最大值时n的值为A.6B.7C.8D.13√解析根据S130,S140,可以确定a1+
本文标题:2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
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