2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围与最值问题课件 理 新

第1课时范围与最值问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题范围问题题型一师生共研例1设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；解因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0).(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由y＝kx－1，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.Δ0恒成立，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，点A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴；因为PA，PB的中点在抛物线上，证明设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.所以y1，y2为方程y＋y022＝4·14y2＋x02，即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根.所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.解由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22y20－4x0.所以△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝.322003244yx因为x20＋y204＝1(－1≤x00)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是62，15104.最值问题题型二多维探究命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则|AF|·|BF|的最小值是A.2B.2C.4D.22√解析设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝21－cosθ，|BF|＝21＋cosθ，则|AF|·|BF|＝21－cosθ×21＋cosθ＝4sin2θ≥4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____.22解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝|1－0|12＋－12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2019·衡水调研)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；解设椭圆的半焦距为c，依题意知ca＝63，a＝3，∴c＝2，b＝1，∴所求椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.32解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知|m|1＋k2＝32，得m2＝34(k2＋1).把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋120.∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－13k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)36k2m23k2＋12－12m2－13k2＋1∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值＝12k2＋13k2＋1－m23k2＋12＝3k2＋19k2＋13k2＋12＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6(k≠0)≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立.当k＝0时，|AB|＝3，综上所述|AB|max＝2.S＝12×|AB|max×32＝32.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(2020·长沙雅礼中学模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)且F1F2⊥OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程；解∵F1(1,0)，F20，p2，∴F1F2—→＝－1，p2，F1F2—→·OP→＝－1，p2·(－1，－1)＝1－p2＝0，∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值.解设过点O的直线MN的方程为y＝kx(k0)，联立y2＝4x，y＝kx，得(kx)2＝4x，解得M4k2，4k，联立x2＝4y，y＝kx，得N(4k,4k2)，从而|MN|＝1＋k24k2－4k＝1＋k24k2－4k，点P到直线MN的距离d＝|k－1|1＋k2，则S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，当t＝－2，即k＝－1时，S△PMN取得最小值，最小值为8.即当过原点的直线方程为y＝－x时，△PMN的面积取得最小值8.所以S△PMN＝12·|k－1|1＋k2·1＋k24k2－4k＝21－k1－k3k2＝21－k21＋k＋k2k2＝2k＋1k－2k＋1k＋1，令t＝k＋1k(t≤－2).数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.“设而不求，整体代换”解圆锥曲线问题核心素养之数学运算例(2020·湖北部分重点中学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m0)在抛物线C上，且|FA|＝2，过点F作斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点.(1)求抛物线C的方程；12≤k≤2解由抛物线的定义可得|FA|＝xA＋p2＝1＋p2＝2，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)求△APQ面积的取值范围.解设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1，因为AF⊥x轴，则S△APQ＝12×|AF|×|x1－x2|＝|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝4k2＋1k4＝41k2＋1k4，因为12≤k≤2，令t＝1k2，所以S△APQ＝4t2＋t14≤t≤4，所以5≤S△APQ≤85，所以△APQ的面积的取值范围为[5，85].典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P，Q点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.素养提升SUYANGTISHENG即m＝4＋b24，∴m4.基础保分练1.(2019·全国100所名校联考)已知抛物线C：y2＝4x，点A(m,0)在x轴正半轴上，O为坐标原点，若抛物线上存在点P，使得∠OPA＝90°，则m的取值范围是A.(0,4)B.(4，＋∞)C.(0,2)D.(2，＋∞)12345678910111213141516课时精练√解析设点Pb24，b，由∠OPA＝90°，得OP→·PA→＝0，∴b24，b·m－b24，－b＝0.又－2≤x≤2，所以当x＝2时，OP→·FP→取得最大值，即OP→·FP→的最大值为6.12345678910111213141516解析由题意得F(－1,0)，设P(x，y)，2.(2019·绵阳诊断)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为A.214B.6C.8D.12√则OP→·FP→＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故x24＋y23＝1，所以OP→·FP→＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，123456789101112131415163.过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥π4，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是A.14，1B.14，＋∞C.12，＋∞D.14，1＋22√12345678910111213141516解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋14＝14＋|AF|cosθ＋14＝12＋|AF|cosθ，|AF|(1－cosθ)＝12，|AF|＝121－cosθ.14121－cosθ≤12－2＝1＋22，即|AF|的取值范围是14，1＋22.由π4≤θπ得－1cosθ≤22，2－2≤2(1－cosθ)4，123456789101112131415164.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是A.22，1B.0，32C.32，1D.0，22√解析由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，所以2c2≥