2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 理 新人教A版

§9.2两条直线的位置关系1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.最新考纲以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.知识梳理k1＝k2k1·k2＝－1(2)两条直线的交点2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解.x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B21.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？概念方法微思考2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.12·llkk1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()基础自测题组一思考辨析|kx0＋b|1＋k2×√×√2.已知点(a，2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于题组二教材改编A.2B.2－2C.2－1D.2＋1√解析由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－2.∵a0，∴a＝－1＋2.3.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝____.解析由题意知m－4－2－m＝1，1所以m－4＝－2－m，所以m＝1.4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为_____.解析由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.－9所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.题组三易错自纠5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3√解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，324则两平行线间的距离为d＝2－122＝324.典题深度剖析重点多维探究题型突破两条直线的平行与垂直题型一师生共研例1(2019·包头模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于A.－1B.2C.0或－2D.－1或2√解析方法一∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在.又∵l1∥l2，∴a－1－2＝－1a，∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等.∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行.方法二由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2.本例中，若l1⊥l2，则a＝____.引申探究13解析方法一a－1－2×－1a＝－1，解得a＝13.方法二由A1A2＋B1B2＝0得(a－1)×1＋2a＝0.解得a＝13.(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为解析若a≠0，则由l1∥l2⇒a＋11＝－a2a，A.－32B.0C.－32或0D.2√故2a＋2＝－1，即a＝－32；若a＝0，l1∥l2，故选C.(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则a＝____.解析由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0，23解得a＝23.两直线的交点与距离问题题型二自主演练1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________.－16，12解析由方程组y＝kx＋2k＋1，y＝－12x＋2，解得x＝2－4k2k＋1，y＝6k＋12k＋1.(若2k＋1＝0，即k＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为2－4k2k＋1，6k＋12k＋1.又∵交点位于第一象限，∴2－4k2k＋10，6k＋12k＋10，解得－16k12.2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为A.95B.185C.2910D.295解析因为36＝48≠－125，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，√所以|PQ|的最小值为2910.(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.思维升华SIWEISHENGHUA对称问题题型三多维探究命题点1点关于点中心对称例2过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_____________.x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A.33B.6C.210D.25解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，√则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是_____________.x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y－y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.解决对称问题的方法(1)中心对称思维升华SIWEISHENGHUA①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2(1)坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是A.－45，85B.－45，－85C.45，－85D.45，85解析设对称点的坐标为(x0，y0)，√则x02－2×y02＋2＝0，y0＝－2x0，解得x0＝－45，y0＝85，即所求点的坐标是－45，85.(2)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有A.a＝13，b＝6B.a＝－3，b＝16C.a＝3，b＝－16D.a＝－13，b＝－6解析由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，√所以6a＋2＝0，所以a＝－13.(3)直线l：x－y－2＝0关于直线3x－y＋3＝0对称的直线方程是_____________.7x＋y＋22＝0在l上任取一点P(0，－2)，设它关于直线3x－y＋3＝0的对称点为Q(x0，y0)，解析由x－y－2＝0，3x－y＋3＝0，得x＝－52，y＝－92，∴两直线的交点为M－52，－92，该点也在所求直线上，则有y0＋2x0－0×3＝－1，3×x02－y0－22＋3＝0，∴Q(－3，－1)且在所求直线上.解得x0＝－3，y0＝－1，∴kMQ＝－1＋92－3＋52＝－7，∴所求直线方程为y＋1＝－7(x＋3)，即7x＋y＋22＝0.直线系方程拓展视野在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程.解题方法因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1).解由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线l过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.例2求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解题方法依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.解因为所求直线与直线