2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.8 函数与方程课件 理 新人教A版

§2.8函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.最新考纲利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根.知识梳理f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点_________________无交点零点个数210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x).()基础自测题组一思考辨析×√√×2.函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是A.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(4，＋∞)题组二教材改编2x1e，1√解析∵f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－0，23且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内.又f(－1)＝－30，f(0)＝10，3.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是A.0B.1C.2D.31e√解析由f′(x)＝ex＋30，得f(x)在R上单调递增，因此函数f(x)有且只有一个零点.4.若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是__________.(－∞，4)5.已知函数f(x)＝x－(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则A.x1x2x3B.x2x1x3C.x2x3x1D.x3x1x2√题组三易错自纠x解析作出y＝x与y＝(x0)，y＝－ex，y＝－lnx(x0)的图象，x如图所示，可知选C.6.若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是A.(－1,1)B.[1，＋∞)C.(1，＋∞)D.(2，＋∞)18√解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意.当a≠0时，若Δ0，f(0)·f(1)0，则a1.若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故选C.典题深度剖析重点多维探究题型突破函数零点所在区间的判定题型一自主演练1.函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)√2x－1解析函数f(x)＝lnx－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续.2x－1因为f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln3－10，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3).2.若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内√解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则a－b0，a－c0，b－c0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.3.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝____.2解析对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解.思维升华SIWEISHENGHUA函数零点个数的判定题型二师生共研例1(1)函数f(x)＝的零点个数是______.x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x02解析当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，2所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x0时，f′(x)＝2＋0恒成立，1x所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f(x)＝的零点个数是____.lnx－x2＋2x，x0，4x＋1，x≤03解析当x0时，作出函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.14综上，f(x)有3个零点.(3)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是A.0B.1C.2D.3√解析方法一∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－10，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为A.1B.2C.3D.4解析g(x)＝f(1－x)－1＝1－x2＋21－x－1，1－x≤0，|lg1－x|－1，1－x0√x2＋2x，x≤0，|lgx|，x0，＝x2－4x＋2，x≥1，|lg1－x|－1，x1，易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.(2)函数f(x)＝|x|－cosx在(－∞，＋∞)内的零点个数为A.0B.1C.2D.无穷多个√解析求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数h(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题.h(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象如图所示，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根.函数零点的应用题型三多维探究命题点1根据函数零点个数求参数例2(1)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.2，52D.2，103√解析由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有实数解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是A.[－1,0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)√ex，x≤0，lnx，x0，解析令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点.由图知－a≤1，∴a≥－1.命题点2根据函数零点的范围求参数m需满足m≠2，f－1·f00，f1·f20，例3(1)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_______.14，12解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，即m≠2，m－2－m＋2m＋12m＋10，m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]0，解得14m12.(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围为__________.则满足a1，loga62，loga102，如图，解得6a10.(6，10)解析由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，故a的取值范围是(6，10).根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)方程有解，则a的最小值为____.则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，12log22xax1解析若方程有解，12log22xax因为1412x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时等号成立，故a的最小值为1.(2)(2020·岳阳检测)对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是A.(－1,3]B.[－3,1]C.[－1,2)D.[－2,1)√b，a－b≥1，a，a－b1.则f(x)＝x＋4，x≤－2或x≥3，x2－1，－2x3，解析令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)1，得－2x3，作出函数f(x)的图象，如图所示.函数y＝f(x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k有3个交点，根据函数图象可得－1－k≤2，即－2≤k1.故选D.例(1)(2019·衡水中学调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是A.1B.2C.3D.4√数形结合法求解函