2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.6 对数与对数函数课件 理 新人教

§2.6对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.最新考纲以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型选择题、解答题均有，解答题的难度为中高档.考情考向分析12INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.对数的概念知识梳理x＝logaNN一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，__叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(MN)＝.②loga＝.③logaMn＝(n∈R).MNalogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(2)对数的性质①负数和零没有对数；②loga1＝0，logaa＝1(a0，且a≠1).③＝(a0，a≠1，且N0).④logaaN＝(a0，且a≠1).(3)对数的换底公式logab＝(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0).logaNaNNlogcblogca3.对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(1)__________值域(2)___(0，＋∞)R性质(3)过定点，即x＝1时，y＝0(4)当x1时，；当0x1时，_____(5)当x1时，；当0x1时，______(6)在(0，＋∞)上是_______(7)在(0，＋∞)上是______(1,0)y0y0增函数减函数y0y04.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.y＝xy＝logax提示＝nmlogab.1.根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？概念方法微思考提示logab·logba＝1；logmnab②化简.logmnab2.如图给出4个对数函数的图象.比较a，b，c，d与1的大小关系.提示0cd1ab.(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测题组一思考辨析×(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.()√×(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.()√3.已知a＝，b＝log213，c＝，则a，b，c的大小关系为________.2.log29·log34·log45·log52＝____.题组二教材改编2132121log3cab121log3解析∵0a1，b0，c＝＝log231.∴cab.4.函数y＝的定义域是________.23log(21)x12，123log(21)x解析由≥0，得02x－1≤1.∴12x≤1.23log(21)x∴函数y＝的定义域是12，1.题组三易错自纠5.已知b0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是A.d＝acB.a＝cdC.c＝adD.d＝a＋c√6.若1(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________.loga34解析当0a1时，loga34logaa＝1，∴0a34；当a1时，loga34logaa＝1，∴a1.∴实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞).0，34∪(1，＋∞)典题深度剖析重点多维探究题型突破对数式的运算题型一自主演练1.设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.10解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.2.设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝_____.6解析∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)＝＋＝2＋＝2＋4＝6.3log233log299log493.计算：1－log632＋log62·log618log64＝________.1解析原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.4.(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.152lgE1E2，√解析两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，lgE1E2＝25·(m2－m1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E1E2＝1010.1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.思维升华SIWEISHENGHUA对数函数的图象及应用题型二师生共研例1(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.0a－1b1B.0ba－11C.0b－1a1D.0a－1b－11√解析由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1logab0，解得1ab1.综上有01ab1.(2)方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为__________.0，22解析若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.4xlogax在0，12上恒成立，则实数a的取值范围是________.引申探究22，1解析当0x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方.又当x＝12时，＝2，即函数y＝4x的图象过点12，2.124把点12，2代入y＝logax，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22a1(如图所示).当a1时，不符合题意，舍去.所以实数a的取值范围是22，1.对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是解析由函数值域为R，可以排除C，D，当x1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.√0，12(2)若不等式x2－logax0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________.116，1解析只需f1(x)＝x2在0，12上的图象恒在f2(x)＝logax图象的下方即可.当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x∈0，12上恒成立，只需f112≤f212，所以有122≤loga12，解得a≥116，所以116≤a1.即实数a的取值范围是116，1.对数函数的性质及应用题型三多维探究命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________.x＝5解析原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5，又x1，所以x＝5.当a0时，由f(a)＝＝log2－1a＝f(－a)＝log2(－a)，得a＝－1.(2)设f(x)＝则方程f(a)＝f(－a)的解集为________.解析当a0时，由f(a)＝log2a＝＝f(－a)＝，得a＝1；212log,0log(),0,xxxx{－1,1}121loga12loga12log()a∴方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}.引申探究本例(2)中，f(a)f(－a)的解集为____________________.(－1,0)∪(1，＋∞)2120loglogaaa，解析由题意，得或a0，log2－a，12loga解得a1或－1a0.命题点2对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)＝.(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间；212lo()3g2xax－＋12log(4)2a＋解由f(－1)＝－3，得＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.212l4og)3(xx－＋则f(x)＝，由x2－4x＋30，得x3或x1.故函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞).令μ＝x2－4x＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增.又y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞).12logu(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由.解令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此a≥2，g2≥0，即a≥2，7－4a≥0，a无解.所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为A.[1,2)B.[1,2]C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)解析令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，√则有g10，a≥1，即2－a0，a≥1，解得1≤a2，即a∈[1,2).(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________.1，83解析当a1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)m