2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.4 幂函数与二次函数课件 理 新人

§2.4幂函数与二次函数1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.最新考纲以幂函数的图象与性质的简单应用为主，二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.考情考向分析12x1xINDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.y＝xα知识梳理函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象性质定义域RRR________________值域R_________R________________(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较12x{y|y≥0}{x|x≥0}{y|y≥0}{x|x≠0}{y|y≠0}性质奇偶性函数函数函数函数函数单调性在R上单调递增在_________上单调递减；在_________上单调递增在R上单调递增在__________上单调递增在_________和_________上单调递减公共点________(1,1)奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0](0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域____________2.二次函数的图象和性质RR值域______________________________________________单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝对称4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a－∞，－b2a－b2a，＋∞－∞，－b2a－b2a，＋∞－b2a1.二次函数的解析式有哪些常用形式？概念方法微思考提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).2.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件.提示a0且Δ≤0.3.函数y＝2x2是幂函数吗？提示不是.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测题组一思考辨析×(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是4ac－b24a.()(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.()√√√题组二教材改编2.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于A.12B.1C.32D.2√解析由幂函数的定义，知k＝1，22＝k·12α.∴k＝1，α＝12.∴k＋α＝32.3.已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.√4.函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为_____.最小值为_____.6解析f(x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，∴x＝1时，f(x)min＝2，x＝3时，f(x)max＝6.25.幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于A.3B.4C.5D.6题组三易错自纠解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－20，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.√21023aax－＋25)2(ax－－解析f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)0，f(0)0，而f(m)0，∴m∈(0,1)，∴m－10，∴f(m－1)0.126.设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则f(m－1)____0.(填“”“”或“＝”)典题深度剖析重点多维探究题型突破幂函数的图象和性质题型一自主演练1.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析设f(x)＝xα，2，14√则2α＝14，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是A.dcbaB.abcdC.dcabD.abdc解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B.√解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.23nnx－3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为A.－3B.1C.2D.1或2√解析不等式等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解得a－1或1133()(132)aa＋－4.若，则实数a的取值范围是_______________________.(－∞，－1)∪23，321133()(132)aa＋－23a32.(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.思维升华SIWEISHENGHUA求二次函数的解析式题型二师生共研例1(1)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝___________.x2－4x＋3解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.－2x2＋4解析由题易知，a≠0且b≠0.由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，所以－a＝－－2ab，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.求二次函数解析式的方法思维升华SIWEISHENGHUAx2＋2x跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝__________.解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝_____________.－4x2＋4x＋7解析方法一(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用顶点式)因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12.又根据题意函数有最大值8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.二次函数的图象和性质题型三多维探究命题点1二次函数的图象例2(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是√解析若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而－0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.b2a(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的是________.(填序号)①④解析图象与x轴交于两点，∴b24ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，即2a－b＝0，②错误；f(－1)0，∴a－b＋c0，③错误；开口向下，a0，b＝2a，∴5a2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.b2a解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，命题点2二次函数的单调性例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是A.[－3,0)B.(－∞，－3]C.[－2,0]D.[－3,0]√由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知a0，3－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3,0].引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝_____.－3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0，又3－a2a＝－1，∴a＝－3.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f(2)，f－32，f(3)的大小关系是A.f(2)f－32f(3)B.f－32f(2)f(3)C.f(3)f(2)f－32D.f(2)f(3)f－32√解析由已知可得二次函数f(x)图象开口向上，对称轴为x＝1，∵－32－1|3－1||2－1|，∴f(2)f(3)f－32.解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；命题点3二次函数的值域、最值例4已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.(3)当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方