2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 理

§2.3函数的奇偶性与周期性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.最新考纲以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等难度.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称f(－x)＝f(x)y轴原点f(－x)＝－f(x)知识梳理(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.2.周期性f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)的定义域关于对称.原点2.已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0).概念方法微思考(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0).(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b).提示T＝2|a|；提示T＝2|a|；提示T＝|a－b|.3.若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线对称.x＝a1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数.()(2)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.()(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()基础自测题组一思考辨析×√√√2.下列函数中为奇函数的是________.(填序号)①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；题组二教材改编③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.②③3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为________________.(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，∴当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2,0)∪(2,5].5.函数f(x)＝是________函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”)题组三易错自纠lg1－x2|x＋3|－3奇解析由1－x20，|x＋3|－3≠0，得－1x0或0x1，即f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)，∴f(x)＝lg1－x2x，∴f(－x)＝lg1－x2－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝－x3，则f112＝________.解析由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f112＝f－12＝－f12＝123＝18.18典题深度剖析重点多维探究题型突破函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性题型一多维探究例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；解由于f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解f(x)的定义域为(－2,2)，(2)f(x)＝ln2－x2＋x；f(－x)＝ln2＋x2－x＝－ln2－x2＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，且a≠1)；＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12解∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.＝－1ax－1＋12＝－f(x).(4)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.－2解析∵f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.解析f(x)＝3－sinxe|x|，x∈[－4,4]，令h(x)＝－sinxe|x|，则h(x)为奇函数，(2)若函数f(x)＝3·e|x|－sinxe|x|在区间[－4,4]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为________.∴h(x)max＋h(x)min＝0，∴f(x)max＋f(x)min＝6，即p＋q＝6.6命题点3函数的对称性A.f(π)f(3)f(2)B.f(π)f(2)f(3)C.f(2)f(3)f(π)D.f(2)f(π)f(3)例3已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是√∵04－π12，∴f(4－π)f(1)f(2)，解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π).当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，∴f(2)f(3)f(π)，故选C.(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题.(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称).思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A.f(x)＝x＋sin2xB.f(x)＝x2－cosxC.f(x)＝3x－13xD.f(x)＝x2＋tanx√解析对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；只有f(x)＝x2＋tanx既不是奇函数也不是偶函数.故选D.(2)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是A.|g(x)|是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是偶函数D.f(x)＋g(x)是奇函数√解析f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数.|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.(3)设函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)0的解集为________.(0,2)解析由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，又g(x)为偶函数，∴g(2－2x)0可化为g(2－2x)g(2)，∴|2－2x|2，∴－22x－22，解得0x2.函数的周期性题型二自主演练1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝______.1解析f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－fx，则f(2020)＝________.－2－3解析由f(x＋2)＝1－fx，得f(x＋4)＝1－fx＋2＝f(x)，因为f(2＋2)＝1－f2，所以f(4)＝－1f2＝－12－3＝－2－3.所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4).故f(2020)＝－2－3.3.(2020·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f52＝______.－1所以f12＝－1＝1，则f52＝－1.解析因为f(x)＝f(2－x)，所以f52＝f－12，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f52＝f－12＝－f12.因为当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，1244.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x1时，f(x)＝2x－1，则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝______.2－1＝f12＋f(0)＝－1＋20－1＝2－1.解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f12＋0＋f－12＋f(0)＋f12＝f12－f12＋f(0)＋f12122利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.思维升华SIWEISHENGHUA函数性质的综合应用题型三高频考点命题点1函数的奇偶性与单调性相结合例4(2017·全国Ⅰ改编)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________.[1,3]解析因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－