2021高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.7解三角形第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测23411.正弦定理和余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则正弦定理余弦定理内容a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R(R为△ABC外接圆的半径)a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC常见变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=b2+c2-a22bc;cosB=a2+c2-b22ac;cosC=a2+b2-c22ab第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2341正弦定理余弦定理解决的问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23412.三角形中的常见结论(1)在△ABC中,A+B+C=π.(2)在△ABC中,AB⇔ab⇔sinAsinB.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23413.△ABC的面积公式(1)S△ABC=12a·h(h表示a边上的高).(2)S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA=𝑎𝑏𝑐4𝑅.(3)S△ABC=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测23414.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的角叫做仰角,目标视线在水平视线的角叫做俯角(如图①).上方下方第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测2341(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.(3)方位角:指从正北方向转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.顺时针第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在△ABC中,sinAsinB的充分不必要条件是AB.()(4)在△ABC中,a2+b2c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.()√√×√×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234152.(2019河北衡水中学下学期高三大联考)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,b=2,c=,C=60°,则sinA的值为()√7A.√77B.√217C.3√714D.3√2114答案解析解析关闭由𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得sinB=𝑏sin𝐶𝑐=2×√32√7=√217.因为bc,所以BC=60°,所以cosB=2√77,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√217×12+2√77×√32=3√2114.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234153.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cosA=23,则b=()A.√2B.√3C.2D.3答案解析解析关闭由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×23,即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得60sin45°=𝐵𝑀sin30°,解得BM=30√2(km).答案解析关闭30√24.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-12-知识梳理双基自测234155.在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为.答案解析解析关闭由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.答案解析关闭等腰三角形或直角三角形第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点4考点1利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2019广西桂林高三一模)如图,在△ABC中,AB=4,点D在边BC的延长线上,已知cos∠CAD=79,AC=AD=√6.(1)求sinB的值;(2)求△ABC的面积.思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点4解:(1)在△ACD中,由余弦定理得,CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=6+6-2×√6×√6×79=83,所以CD=2√63.所以cos∠ACD=𝐴𝐶2+𝐶𝐷2-𝐴𝐷22𝐴𝐶·𝐶𝐷=13.因为∠ACD∈(0,π),所以sin∠ACD=2√23,所以sin∠ACB=sin(π-∠ACD)=sin∠ACD=2√23.在△ABC中,由正弦定理得,𝐴𝐶sin𝐵=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵,所以sinB=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐶𝐵𝐴𝐵=√6×2√234=√33.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点4(2)cos∠ACB=cos(π-∠ACD)=-cos∠ACD=-13.在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以BC2+2√63BC-10=0,解得BC=√6.所以△ABC的面积为12AB·BCsinB=12×4×√6×√33=2√2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点4解题心得1.已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,可先求出角C及b,再求出c.2.已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.3.已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.4.已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶可求出c,而通过𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=.14(2)在△ABC中,角A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.4解析:由于3sinA=2sinB,根据正弦定理可得3a=2b.又a=2,所以b=3.于是由余弦定理可得c=𝑎2+𝑏2-2𝑎𝑏cos𝐶=22+32-2×2×3×-14=4.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点4(2)解设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10.又由正弦定理得sinB=𝑏sin∠𝐵𝐴𝐶𝑎=33√10=√1010,由题设知0Bπ4,所以cosB=√1-sin2𝐵=1-110=3√1010.在△ABD中,由正弦定理得AD=𝐴𝐵·sin𝐵sin(π-2𝐵)=6sin𝐵2sin𝐵cos𝐵=3cos𝐵=√10.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点4考点2判断三角形的形状例2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?√3第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点4解(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,∴cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,∴A=60°.(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=√3,得sinB+sin(120°-B)=√3,∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=√3.∴32sinB+√32cosB=√3,第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点4即sin(B+30°)=1.∵0°B120°,∴30°B+30°150°.∴B+30°=90°,即B=60°.∴A=B=C=60°,∴△ABC为等边三角形.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点4解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要有以下两条途径:(1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状.(2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=π这个结论.注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解.(2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考点4对点训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=π3,且△ABC的面积S=√3,求a,b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.因为S=√3,所以12absinC=√3,得ab=4.联立方程组𝑎2+𝑏2-𝑎𝑏=4,𝑎𝑏=4,解得a=2,b=2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3考点4(2)由题意得sinC+sin(B-A)=sin2A,得到sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,即sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA,所以有sinBcosA=sinAcosA,当cosA=0时,A=,△ABC为直角三角形;当cosA≠0时,得sinB=sinA,由正弦定理得a=b,△ABC为等腰三角形.π2第八单元考点一考点二核心素