2021高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 三角恒等变换课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.6三角恒等变换第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测211.公式的常见变形(1)tanα+tanβ=;tanα-tanβ=.(2)sin2α=1-cos2𝛼2;cos2α=1+cos2𝛼2;sinαcosα=12sin2α.(3)1+cosα=2cos2𝛼2;1-cosα=2sin2𝛼2;1+sinα=sin𝛼2+cos𝛼22;1-sinα=sin𝛼2-cos𝛼22.tan(α+β)(1-tanαtanβ)tan(α-β)(1+tanαtanβ)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测212.辅助角公式asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ),其中sinφ=𝑏𝑎2+𝑏2,cosφ=𝑎𝑎2+𝑏2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)y=3sinx+4cosx的最大值是7.()(3)在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.()(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()(5)公式asinx+bcosx=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.()(2)当α是第一象限角时,sin𝛼2=1-cos𝛼2.()𝑎2+𝑏2×××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测234152.若cosπ4-𝛼=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725D解析(方法一)cos2π4-𝛼=2cos2π4-𝛼-1=2×352-1=-725,且cos2π4-𝛼=cosπ2-2𝛼=sin2α,故选D.(方法二)由cosπ4-𝛼=35,得22cosα+22sinα=35,即22(cosα+sinα)=35,两边平方得12(cos2α+sin2α+2cosαsinα)=925,整理得2sinαcosα=-725,即sin2α=-725,故选D.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234153.如果α∈π2,π,且sinα=45,那么sin𝛼+π4+cos𝛼+π4等于()A.425B.-425C.325D.-325答案解析解析关闭tan𝛼+π4=tan(𝛼+𝛽)-𝛽-π4=tan(𝛼+𝛽)-tan𝛽-π41+tan(𝛼+𝛽)tan𝛽-π4=322.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234154.在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin2α=.答案解析解析关闭由题意可知,r=|OP|=5,sinα=15,cosα=25,则cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosα=252+2×15×25=45+45=85.答案解析关闭85第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234155.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案解析解析关闭∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sinx.∴f(x)max=1.答案解析关闭1第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-9-考点1考点2考点3考点1三角函数式的化简、求值例1(1)已知0θπ,则(1+sin𝜃+cos𝜃)sin𝜃2-cos𝜃22+2cos𝜃=.(2)化简:2cos4𝑥-2cos2𝑥+122tanπ4-𝑥sin2π4+𝑥=.(3)已知sinα=12+cosα,且α∈0,π2,则cos2𝛼sin𝛼-π4的值为.思考三角函数式化简、求值的一般思路是什么?化简的标准是怎样的?-cosθ12cos2x-142第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3解析:(1)原式=2sin𝜃2cos𝜃2+2cos2𝜃2sin𝜃2-cos𝜃24cos2𝜃2=cos𝜃2·sin2𝜃2-cos2𝜃2cos𝜃2=-cos𝜃2·cos𝜃cos𝜃2.因为0θπ,所以0𝜃2π2.所以cos𝜃20,所以原式=-cosθ.(2)原式=-2sin2𝑥cos2𝑥+122sinπ4-𝑥cos2π4-𝑥cosπ4-𝑥=12(1-sin22𝑥)2sinπ4-𝑥cosπ4-𝑥=12cos22𝑥sinπ2-2𝑥=12cos2x.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3(3)(方法一)∵sinα=12+cosα,∴sinα-cosα=12,∴2sin𝛼-π4=12,∴sin𝛼-π4=24.又α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,∴cos𝛼-π4=144,∴cos2α=-sin2𝛼-π4=-2sin𝛼-π4cos𝛼-π4=-2×24×144=-74.∴cos2𝛼sin𝛼-π4=-7424=-142.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3(方法二)∵sinα=12+cosα,∴sinα-cosα=12,∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=14,∴2sinαcosα=34,∵α∈0,π2,∴sinα+cosα=sin2𝛼+cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=1+34=72,∴cos2𝛼sin𝛼-π4=(cos𝛼+sin𝛼)(cos𝛼-sin𝛼)22(sin𝛼-cos𝛼)=-2(sinα+cosα)=-142.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得1.三角函数式化简、求值的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助角公式等.2.三角函数式化简、求值的基本思路:“一角二名三结构”,即:一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”,关于sinα·cosα的齐次分式化切等;三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点33.化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3对点训练1(1)化简:sin2𝛼-2cos2𝛼sin𝛼-π4=.(2)设α为锐角,若cos𝛼+π6=45,则sin2𝛼+π12的值为.(3)化简:1tan𝛼2-tan𝛼2·1+tan𝛼·tan𝛼2.22cosα17502第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解析:(1)原式=2sin𝛼cos𝛼-2cos2𝛼22(sin𝛼-cos𝛼)=22cosα.(2)∵α为锐角,cos𝛼+π6=45,∴sin𝛼+π6=35.∴sin2𝛼+π3=2sin𝛼+π6cos𝛼+π6=2425,cos2𝛼+π3=2cos2𝛼+π6-1=725,∴sin2𝛼+π12=sin2𝛼+π3-π4=22sin2𝛼+π3-cos2𝛼+π3=17250.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3(3)解1tan𝛼2-tan𝛼2·1+tan𝛼·tan𝛼2=cos𝛼2sin𝛼2-sin𝛼2cos𝛼2·1+sin𝛼cos𝛼·sin𝛼2cos𝛼2=cos2𝛼2-sin2𝛼2sin𝛼2cos𝛼2·cos𝛼cos𝛼2+sin𝛼sin𝛼2cos𝛼cos𝛼2=2cos𝛼sin𝛼·cos𝛼2cos𝛼cos𝛼2=2sin𝛼.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点2三角函数式的求值(多考向)考向一给角求值问题例2(2019重庆期末)(23cos20°-tan70°)cos10°=()A.12B.32C.1D.3思考解决“给角求值”问题的一般思路是什么?A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析:(23cos20°-tan70°)cos10°=23cos20°-sin70°cos70°cos10°=23cos20°cos70°-sin70°cos70°·cos10°=23cos20°sin20°-sin70°cos70°·cos10°=3sin40°-sin(30°+40°)cos70°·cos10°=3sin40°-12cos40°-32sin40°cos70°·cos10°=32sin40°-12cos40°cos70°·cos10°=sin10°cos70°·cos10°=12sin20°sin20°=12.故选A.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考向二给值求角问题思考解决“给值求角”问题的一般思路是什么?例3已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0βαπ2,则β=.π3第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3解析:∵0βαπ2,∴0α-βπ2,sinα=437.又cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos2(𝛼-𝛽)=3314.∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.又0βπ2,∴β=π3.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考向三给值求值问题例4已知sin𝛼+π4=210,α∈π2,π.求:(1)cosα的值;(2)sin2𝛼-π4的值.思考解决“给值求值”问题的关键是什么?“给角求值”问题与“给值求值”问题有什么联系?第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解:(1)sin𝛼+π4=210,即sinαcosπ4+cosαsinπ4=210,化简,得sinα+cosα=15,①又sin2α+cos2α=1,②由①②解得cosα=-35或cosα=45.∵α∈π2,π,∴cosα=-35.(2)∵α∈π2,π,cosα=-35,∴sinα=45,∴cos2α=1-2sin2α=-725,sin2α=2sinαcosα=-2425,∴sin2𝛼-π4=sin2αcosπ4-cos2αsinπ4=-17250.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解题心得1.三角函数求值的类型及方法:(1)“给角求值”:解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.(2)“给值求值”:给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素