2021高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理 11.3 二项式定理课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升11.3二项式定理第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.二项式定理二项式定理(a+b)n=(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr+1=,它表示第项二项式系数二项展开式中各项的系数C𝑛0,C𝑛1,…,C𝑛𝑛C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛bnC𝑛𝑟an-rbrr+1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即增减性二项式系数𝐶nk当k(n∈N*)时,C𝑛𝑘是递增的当k(n∈N*)时,C𝑛𝑘是递减的最大值当n为偶数时,中间的一项C𝑛𝑛2取得最大值当n为奇数时,中间的两项和取得最大值C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚𝑛+12𝑛-12C𝑛𝑛-12C𝑛𝑛+12第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=.(2)C𝑛0+C𝑛2+C𝑛4+…=C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5+…=.(3)C𝑛1+2C𝑛2+3C𝑛3+…+nC𝑛𝑛=n2n-1.(4)C𝑚𝑟C𝑛0+C𝑚𝑟-1C𝑛1+…+C𝑚0C𝑛𝑟=C𝑚+𝑛𝑟.(5)(C𝑛0)2+(C𝑛1)2+(C𝑛2)2+…+(C𝑛𝑛)2=C2𝑛𝑛.2n2n-1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)(a+b)n的展开式中的第r项是C𝑛𝑟an-rbr.()(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数与a,b无关.()(4)通项𝑇𝑟+1=C𝑛𝑟an-rbr中的a和b不能互换.()(5)(a+b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同.()××√√×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测234152.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案解析解析关闭二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=C6𝑟x6-rir,则其展开式中含x4时6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测234153.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案解析解析关闭由条件知C𝑛3=C𝑛7,则n=10.故(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5𝑟(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.答案解析关闭C4.(2019宁夏银川一中高三二模)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234155.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案解析解析关闭二项展开式的通项Tr+1=C𝑛𝑟(3x)r=3r·C𝑛𝑟·xr,令r=2,得32·C𝑛2=54,解得n=4.答案解析关闭4第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-10-考点1考点2考点3考点1通项公式及其应用(多考向)考向一已知二项式求其特定项(或系数)例1(1)在(1+ax)8的展开式中,x3项的系数是x2项的系数的2倍,则a的值为()A.12B.1C.√2D.2思考如何求二项展开式的项或特定项的系数?已知特定项的系数如何求二项式中的参数?(2)(2019浙江,13)在二项式(√2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.B16√25第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-11-考点1考点2考点3解析:(1)二项式(1+ax)8的展开式的通项是Tr+1=C8𝑟arxr.依题意得C83a3=2C82a2,解得a=1.(2)(√2+x)9的通项为Tr+1=C9𝑟(√2)9-rxr(r=0,1,2,…,9),可得常数项为T1=C90(√2)9=16√2.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T6,T8,T10的系数为有理数,共5个.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考向二已知三项式求其特定项(或系数)例2(1)在(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)在(x2-x+1)3展开式中,x项的系数为()A.-3B.-1C.1D.3思考如何求三项式中某一特定项的系数?CA第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解析(1)由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为Tr+1=C5𝑟(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2时,T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为Ti+1=C3𝑖(x2)3-i·xi=C3𝑖x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中x5项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是C52·3=10×3=30.(2)(方法一)(x2-x+1)3=[(x2-x)+1]3的展开式的通项为Tk+1=C3𝑘(x2-x)3-k,令3-k=1,可知k=2.则T3=C32(x2-x)=3x2-3x,即在(x2-x+1)3展开式中,x项的系数为-3,故选A.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3(方法二)因为(x2-x+1)3=(x2-x+1)(x2-x+1)(x2-x+1),所以要得到展开式的x项,必须从两个因式中取1,另一个因式中取-x项相乘得到,因此x项的系数为-C32=-3.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考向三求两个因式之积的特定项系数例3(1)(2019全国Ⅲ,理4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.24(2)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)思考如何求两个因式之积的特定项系数?-20A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解析:(1)(1+2x2)·(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.(2)(方法一)因为(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8𝑟x8-ryr(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=C87xy7=8xy7,当r=6时,T7=C86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.(方法二)因为(x-y)(x+y)8是9个因式之积,所以x2y7的系数为C81·C77−C82·C66=-20.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解题心得1.求二项展开式中的项或项的系数的方法:求二项展先建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.2.求三项展开式中某些特殊项的系数的方法:(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理去解;(2)两次利用二项式定理的通项公式求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.3.求两个因式之积的特定项系数也有两种方法:(1)利用通项公式法;(2)用排列组合法.开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1=C𝑛𝑘an-kbk的特点,一般需要第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3对点训练1(1)𝑥3+12√𝑥5的展开式中x8的系数是.(用数字作答)(2)1+𝑥+1𝑥6的展开式中常数项为.(3)若(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数是5,则a=.52-1141第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析(1)展开式的通项公式Tr+1=C5𝑟·(x3)5-r·12√𝑥𝑟=C5𝑟·2-r·𝑥15-72𝑟(r=0,1,2,…,5).令15-72r=8,得r=2,于是展开式中x8项的系数是C52·2-2=52.(2)(方法一)将原式看做1+𝑥+1𝑥6,由二项式定理可得展开式的通项为Tr+1=C6𝑟·16-r·𝑥+1𝑥𝑟.又𝑥+1𝑥𝑟的展开式通项为Tm+1=C𝑟𝑚·xr-m·(x-1)m=C𝑟𝑚·xr-2m,则取常数项时r=2m.由题可知r∈{0,1,2,3,4,5,6},m∈{0,1,2,3,4,5,6},则m的可能取值为0,1,2,3,对应的r分别为0,2,4,6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3当m=0,r=0时,常数项为1;当m=1,r=2时,常数项为30;当m=2,r=4时,常数项为90;当m=3,r=6时,常数项为20;故常数项为1+30+90+20=141.(方法二)将1+𝑥+1𝑥6看作6个因式相乘,要得到常数,取因式中的6个1相乘,或取1个x,1个1𝑥,4个1相乘,或取2个x,2个1𝑥,2个1相乘,或取3个x,3个1𝑥相乘,故常数项为1+C61C51+C62C42+C63C33=1+30+90+20=141.(3)(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数是1×C52+a×C51=10+5a,所以10+5a=5,解得a=-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点2二项式系数的性质与各项系数和(多考向)考向一二项式系数的最值问题例4设m为正整数,(x+y)2𝑚展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2𝑚+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8思考如何确定二项式系数最大的项?答案解析解析关闭由题意可知,a=C2𝑚𝑚,b=C2𝑚+1𝑚.∵13a=7b,∴13·(2𝑚)!𝑚!𝑚!=7·(2𝑚+1)!𝑚!(𝑚+1)!,即137=2𝑚+1𝑚+1,解得m=6.故选B.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考向二项的系数的最值问题例5已知(√x3+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,则在2x-1x2n的展开式中,二项式系数最大的项为;系数的绝对值最大的项为.思考如何求二项展开式中项的系数最值?-8064-15360x4第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3解析由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,故2n=32,解得n=5.由二项式系数的性质知,2𝑥-1𝑥10的展开式中第6项的二项