2021高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升9.6双曲线第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.注:若点M满足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a0,c0.(1)当时,点M的轨迹是双曲线;(2)当时,点M的轨迹是两条射线;(3)当时,点M的轨迹不存在.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距aca=cac第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测231标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1,A2顶点坐标:A1,A2渐近线y=y=离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)±𝑏𝑎x±𝑎𝑏x第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测231标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的,它的长|B1B2|=;叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)实轴2a虚轴2bab第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)渐近线的斜率与离心率的关系(2)若P为双曲线上一点,F为其对应的焦点,则|PF|≥c-a.(3)区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中,a2=b2+c2,而在双曲线中,c2=a2+b2.双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条渐近线的斜率𝑏𝑎=𝑒2-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)双曲线方程𝑥2𝑚2−𝑦2𝑛2=λ(m0,n0,λ≠0)的渐近线方程是𝑥2𝑚2−𝑦2𝑛2=0,即𝑥𝑚±𝑦𝑛=0.()(2)关于x,y的方程𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)与双曲线𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(其中mn0)共渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=λ(λ≠0).()(4)等轴双曲线的离心率等于2,且渐近线互相垂直.()(5)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)与𝑥2𝑏2−𝑦2𝑎2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1𝑒12+1𝑒22=1.()×第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x答案解析解析关闭∵e=𝑐𝑎=3,∴𝑐2𝑎2=𝑏2+𝑎2𝑎2=𝑏𝑎2+1=3.∴𝑏𝑎=±2.∵双曲线交点在x轴上,∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,∴渐近线方程为y=±2x.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.已知直线l:kx+y-2k=0与双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为43,则双曲线C的离心率为()A.2B.22C.2D.3答案解析解析关闭由题意得,|k|=𝑏𝑎,由这两条平行线间的距离为43,即|-2𝑘|1+𝑘2=43,整理,得k2=8,即𝑏2𝑎2=k2=8,所以e=𝑐𝑎=1+𝑏2𝑎2=3,故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.(2019广东深圳高三二模)已知双曲线C:,且圆E:(x-2)2+y2=1的圆心是双曲线C的右焦点,若圆E与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为.𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1答案解析解析关闭双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的渐近线方程是y=±𝑏𝑎x,即bx±ay=0,∵以F为圆心,以1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,∴点F(2,0)到直线bx±ay=0的距离是|2𝑏|𝑏2+𝑎2=2𝑏𝑐=1,∵F(2,0)是双曲线C的右焦点,∴c=2,代入2𝑏𝑐=1,可得b=1,∴a2=c2-b2=3,∴双曲线C的方程是𝑥23-y2=1.答案解析关闭𝑥23-y2=1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234155.设双曲线𝑥29−𝑦2𝑏2=1(b0)的焦点为F1,F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|=.答案解析解析关闭由双曲线的方程𝑥29−𝑦2𝑏2=1(b0),可得a=3,根据双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=6,又因为|PF1|=5,所以|PF2|=11.答案解析关闭11第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点1双曲线的定义及其标准方程例1(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=.(3)已知F是双曲线C:x2-y2=1的右焦点,P是C的左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为.思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?2答案:(1)x2-𝑦28=1(x≤-1)(2)34(3)6第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解析:(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-𝑦28=1(x≤-1).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3(2)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=22,所以|PF1|=2|PF2|=42,所以cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=(42)2+(22)2-422×42×22=34.(3)设双曲线的左焦点为F',由双曲线C:x2-y2=1可得a=1,b=1,c=2,即有F(2,0),F'(-2,0),△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2,由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2,即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2,当P在左支上运动到A,P,F'共线时,|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=2,则有△APF周长的最小值为2+2+2=6.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)(2019河北六校联考)已知F1,F2分别为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为22,则双曲线的标准方程为()A.𝑥24−𝑦22=1B.𝑥23−𝑦22=1C.𝑥24−𝑦28=1D.x2-𝑦22=1(2)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8DB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②①-②,得|PF1||PF2|=4.解析:(1)依题意得2b=22,tan60°=2𝑐𝑏2𝑎=3,于是b=2,2c=3×2𝑎,ac=3,a𝑎2+2=3,解得a=1,因此该双曲线的标准方程为x2-𝑦22=1,选D.(2)由题意知a=1,b=1,c=2,故|F1F2|=22.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点2双曲线的几何性质(多考向)考向一已知离心率求渐近线方程例2已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?答案解析解析关闭∵双曲线C的离心率为2,∴e=𝑐𝑎=2,即c=2a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到双曲线C的渐近线的距离d=|4|2=22.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考向二已知渐近线方程求离心率例3设F1,F2分别为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,A为双曲线的一个顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B,C两点,若△ABC的面积为12c2,则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.3D.2思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?答案解析解析关闭设双曲线的一条渐近线方程为y=𝑏𝑎x,即为bx-ay=0,则A(a,0)到这条渐近线的距离为d=𝑎𝑏𝑎2+𝑏2=𝑎𝑏𝑐.因为△ABC的面积为12c2,所以12·2c·𝑎𝑏𝑐=12c2,即4a2b2=c4,即4a2(c2-a2)=c4,即c2=2a2,即c=2a,所以e=𝑐𝑎=2.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考向三由离心率或渐近线方程确定双曲线方程例4已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.𝑥24−𝑦24=1B.𝑥28−𝑦28=1C.𝑥24−𝑦28=1D.𝑥28−𝑦24=1思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?答案解析解析关闭设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±𝑏𝑎x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=4�