2020新教材高中数学 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算课件 新人教B版必修第四册

-1-10.3复数的三角形式及其运算课标阐释思维脉络1.知道复数的模和辐角的定义.2.会求复数的模和辐角的主值.3.能求出复数的三角形式.4.会进行复数三角形式的乘除运算.课前篇自主预习一、复数的三角形式1.思考(1)复数z=a+bi可以用点Z(a,b)和向量𝑂𝑍表示,还有其他的表示形式吗?提示:有,三角表示.(2)设点Z(a,b),r=|𝑂𝑍|,θ是以x轴正半轴为始边,射线OZ为终边的角,那么a,b与r,θ是什么关系?提示:a=rcosθ,b=rsinθ.课前篇自主预习2.填空由下图可以看出,对于复数z=a+bi,有𝑎=𝑟cos𝜃,𝑏=𝑟sin𝜃.所以z=a+bi=rcosθ+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ).一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是复数z的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式,为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数形式.规定在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值,记作argz,即0≤argz2π.课前篇自主预习3.做一做(1)写出下列复数的辐角主值:①-3i;②4;③7i;④-π;⑤-3-3i;⑥-1+3i;⑦5-5i.提示:①3π2;②0;③π2;④π;⑤5π4;⑥2π3;⑦7π4.(2)(多选题)复数-3-i的辐角可能是()A.π6B.7π6C.-5π6D.19π6解析:因为复数-3-i的辐角为7π6+2kπ,且当k=0时,为7π6;当k=-1时,为-5π6,当k=1时,为19π6,不存在π6的情况.答案:BCD课前篇自主预习(3)已知复数:①-12cos2π3+isin2π3;②cos-3π5+isin-3π5;③2(cos90°+isin30°);④4sin7π2+icos7π2;⑤2(cos78°-isin78°).其中,是三角形式的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①中,不满足模r≥0;②中,满足复数三角形式的特征;③中,不满足同一个角θ;④中,不满足i与sinθ相乘;⑤中,不满足cosθ与isinθ之间用加号连结.综上可知,只有②是复数的三角形式.故选A.答案:A课前篇自主预习二、复数的三角形式与代数形式的互化1.思考(1)把一个复数表示成三角形式时,辐角θ一定要取主值吗?提示:不一定,例如2cos-π4+isin-π4也是1-i的三角形式.(2)每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗?提示:不一定,复数0的辐角主值有无数个,每一个不等于零的复数才有唯一的模与辐角主值.课前篇自主预习2.填空(1)复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcosθ,b=rsinθ)即可.(2)复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤是:①求复数的模:r=𝑎2+𝑏2;②由cosθ=𝑎𝑟(或tanθ=𝑏𝑎)及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可);③写出复数的三角形式.课前篇自主预习(3)每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等,即z1=z2⇔𝑟1=𝑟2,arg𝑧1=arg𝑧2.课前篇自主预习3.做一做(1)两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析:当两个复数z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2,充分性成立;但当z1=z2时,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相差2π的整数倍,故必要性不成立,综上,两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的充分不必要条件.故选A.答案:A课前篇自主预习(2)把下列复数表示成代数形式:①10cos3π2+isin3π2;②4cos5π6+isin5π6.解:①10cos3π2+isin3π2=10cos3π2+10sin3π2i=10×0+10×(-1)i=-10i;②4cos5π6+isin5π6=4cos5π6+4sin5π6i=4×-32+4×12i=-23+2i.课前篇自主预习三、复数三角形式的乘法及运算律1.思考(1)使用复数的三角形式进行运算的条件是什么,辐角要求一定是主值吗?提示:使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式,辐角不要求一定是主值.(2)两个复数的积仍然是一个复数吗?任意多个复数的积呢?提示:两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.课前篇自主预习2.(1)复数乘法运算的三角表示若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简单的说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,幅角相加.(2)复数乘法运算的几何意义两个复数z1,z2相乘时,先分别画出与z1,z2对应的向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,然后把向量𝑂𝑍1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ20,就要把𝑂𝑍1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍(r21,应伸长;0r21,应缩短;r2=1,模长不变),得到向量𝑂𝑍,𝑂𝑍表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.课前篇自主预习(3)复数的三角形式乘法法则有如下推论①有限个复数相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)…rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]②当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,幅角n倍.③在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.这个公式叫做棣莫佛公式.课前篇自主预习3.做一做计算下列各式,并把结果化为代数形式.(1)2cosπ12+isinπ12×3cos5π6+isin5π6;解:2cosπ12+isinπ12×3cos5π6+isin5π6=2×3cosπ12+5π6+isinπ12+5π6=6cos11π12+isin11π12=6-cosπ12+isinπ12=6-2+64+6-24i=-3+32+3-32i;课前篇自主预习(2)12cosπ6+isinπ6×8cos3π4+isin3π4.解:12cosπ6+isinπ6×8cos3π4+isin3π4=12×8cosπ6+3π4+isinπ6+3π4=4cos11π12+isin11π12=4-2+64+6-24i=-2−6+(6−2)i.课前篇自主预习四、复数三角形式的除法1.思考(1)如果非零复数z=r(cosθ+isinθ),那么,的三角形式是什么?𝑧提示:𝑧=r[cos(-θ)+isin(-θ)].(2)两个复数的商仍然是一个复数吗?提示:两个复数的商仍然是一个复数.课前篇自主预习这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简单的说,两个复数三角形式相除的法则为:模相除,幅角相减.(2)复数除法运算的几何意义两个复数z1,z2相除时,先分别画出与z1,z2对应的向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,然后把向量𝑂𝑍1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ20,就要把𝑂𝑍1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的1𝑟2倍(r21,应缩短;0r21,应伸长;r2=1,模长不变),得到向量𝑂𝑍,𝑂𝑍表示的复数就是商z1÷z2.这是复数除法的几何意义.2.(1)复数三角形式的除法运算若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1÷z2=𝑟1𝑟2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].课前篇自主预习3.做一做(1)计算下列各式:①6cos4π3+isin4π3÷2cos5π6+isin5π6;②3(cos270°+isin270°)÷13[cos(-90°)+isin(-90°)].解:①原式=3cos4π3-5π6+isin4π3-5π6=3cosπ2+isinπ2=3(0+i)=3i;②原式=9(cos360°+isin360°)=9(1+0)=9.课前篇自主预习(2)设z=-22−62i对应的向量为𝑂𝑍,将𝑂𝑍绕点O按顺时针方向旋转120°,然后将所得向量的模伸长到2倍,求所得向量对应的复数(用代数形式表示).解:z=-22−62i=2-12-32i=2(-cos60°-isin60°)=2(cos240°+isin240°).将𝑂𝑍绕点O按顺时针方向旋转120°,然后将所得向量的模伸长到2倍,则所得向量对应的复数为:2(cos240°+isin240°)÷12(cos120°+isin120°)=22(cos120°+isin120°)=22(-12+32i)=-2+6i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测复数的模与辐角例1(1)若复数z满足𝑧-1𝑧=1,当复数z的辐角为30°时,复数z的模是()A.1B.2C.3D.4解析:设z=r(cos30°+isin30°),代入𝑧-1𝑧=1,得𝑟(cos30°+isin30°)-1𝑟(cos30°+isin30°)=1,解得r=1,所以复数z的模是1.故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测(2)已知复数z=1+3i,则复数𝑧2-𝑧+42-𝑧的辐角的主值是()A.π3B.π2C.2π3D.3π2解析:因为𝑧2-𝑧+42-𝑧=(1+3i)2-(1+3i)+42-(1+3i)=1+3i1-3i=-12+32i=cos2π3+isin2π3,所以复数𝑧2-𝑧+42-𝑧辐角的主值为23π.故选C.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测变式训练1(1)设复数z满足𝑧-1𝑧=12,arg𝑧-1𝑧=π3,则z=()A.1-33iB.1+33iC.1-22iD.1+22i解析:由已知得𝑧-1𝑧=12cosπ3+isinπ3,即1-1𝑧=14+34i,即1𝑧=34−34i,所以z=43(3-i)=33(3+i)=1+33i.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测(2)已知复数z=1-2i,ω=2𝑧+i−𝑧+1,则ω的辐角的主值为.解析:∵z=1-2i,∴ω=2𝑧+i−𝑧+1=21-2i+i-(2+2i)=2(1+i)(1-i)(1+i)-(2+2i)=-1-i=2-22-22i=2cos5π4+isin5π4,∴ω的辐角主值为5π4.答案:5π4课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测复数的三角形式与代数形式的互化例2将下列复数代数形式化为三角形式:(1)-1-3i;(2)ai(a∈R).解:(1)-1-3i=2-12-32i=2cos4π3+isin4π3;(2)当a≥0时,ai=acosπ2+isinπ2;当a0时,ai=-acos3π2+isin3π2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四易错警示当堂检测变式训练2将下列复数代数形式化为三角形式:(1)-cosπ5+isinπ5;(2)sinθ+icosθ.解:(1)-cosπ5+isinπ5=cosπ-π5+isinπ-π5=cos4π5+isin4π5;(2)sin