2020新教材高中数学 第十章 复数 10.2.2 复数的乘法与除法课件 新人教B版必修第四册

-1-10.2.2复数的乘法与除法课标阐释思维脉络1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.课前篇自主预习一、复数的乘法1.思考如何规定两复数相乘?提示:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.课前篇自主预习2.填空(1)复数的乘法法则一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,(2)复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3课前篇自主预习(3)常见结论:①∀z∈C,z𝑧=|z|2=|𝑧|2.②n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn,即zn=𝑧×𝑧×…×𝑧𝑛个.③可以验证,当m,n均为正整数时,④需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等,对于复数来说也是成立的,即zmzn=zm+n,(zm)n=𝑧𝑚𝑛,(z1z2)n=𝑧1𝑛𝑧2𝑛.(z1±z2)2=𝑧12±2z1z2+𝑧22,𝑧12−𝑧22=(z1+z2)(z1-z2).⑤等式两边同时乘上一个复数等式仍成立,即当z1=z2时,必定有z1z=z2z.课前篇自主预习⑥in的周期性与ωn(n∈N*)的性质(i)in(n∈N*)的性质根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则,即当n∈N*时,i4n=1,i4n+1=i,i4𝑛+2=-1,i4n+3=-i,其中i0=1,i-n=1i𝑛(n∈N*).另外,i4n+i4n+1+i4𝑛+2+i4n+3=0,(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.课前篇自主预习(ii)ωn(n∈N*)的性质1的三次虚数根ω的性质,由方程x3-1=0,得x1=1,x2=-1+3i2,x3=-1-3i2.取ω1=-1+3i2,ω2=-1-3i2,则ω1,ω2具有下列性质:①𝜔13=𝜔23=1.②1+ω1+ω2=0.③𝜔12=ω2,𝜔22=ω1.④ω1=𝜔2.⑤ω1·ω2=1,ω1=1𝜔2,ω2=1𝜔1.另外,ω3n=1,ω3n+1=ω,𝜔3𝑛+2=ω2.ω具有周期性,解题时要灵活应用,适当变形,巧用ω的性质,从而达到事半功倍的效果.课前篇自主预习3.做一做(1)复数i(2-i)=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案:A(2)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2=()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+4i答案:A(3)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于()A.1B.-1C.2D.-2解析:∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,得m3+1=0,即m=-1.答案:B课前篇自主预习二、复数的除法1.思考如何规定两复数相除?提示:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),通常先把(a+bi)÷(c+di)写成𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di,化简后可得结果,即𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐-𝑎𝑑)i𝑐2+𝑑2=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).课前篇自主预习2.填空(1)复数的除法法则①如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=𝑧1𝑧2(或z=z1÷z2)而且同以前一样,z1称为被除数,z2称为除数.一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0),则𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i.点睛在进行复数除法时,分子、分母同乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化很类似.课前篇自主预习②一般地,给定复数z≠0,称1𝑧为z的倒数,z1除以z2的商𝑧1𝑧2也可以看成z1与z2的倒数之积.③当z为非零复数且n是正整数时,规定z0=1,z-n=1𝑧𝑛.(2)常见结论:①当ω为非零复数时,有𝑧1𝑧2=𝑧1𝜔𝑧2𝜔,𝑧1+𝑧2𝜔=𝑧1𝜔+𝑧2𝜔.②(i)z𝑧=|z|2=|𝑧|2;(ii)𝑧2=𝑧2;③𝑧1𝑧2=𝑧1𝑧2.课前篇自主预习3.做一做(1)若i是虚数单位,则i3+3i=()A.14−312iB.14+312iC.12+36iD.12−36i解析:i3+3i=i(3-3i)3+9=3i+312=14+312i,故选B.答案:B课前篇自主预习(2)1+2i(1-i)2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i解析:先进行复数的乘方运算,再进行除法运算.1+2i(1-i)2=1+2i1-2i+i2=1+2i-2i=(1+2i)i2=-1+12i.答案:B课前篇自主预习(3)已知复数z=1-3i3+i,𝑧是z的共轭复数,则𝑧的模等于()A.4B.2C.1D.14解析:|𝑧|=|z|=1-3i3+i=|1-3i||3+i|=22=1.答案:C(4)复数i2+i3+i41-i=.答案:12−12i课前篇自主预习三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集1.思考方程x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数范围内有两个根±i,那么关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ0时是否也有两个复数根呢?提示:有.2.填空当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且(1)当Δ=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ=b2-4ac0时,方程有两个互为共轭的虚数根.其求根公式为:x=-𝑏±-𝛥i2𝑎.课前篇自主预习3.做一做(1)在复数范围内,方程x2+x+1=0的根为()A.-1+3i2B.-1-3i2C.-1±3i2D.1±3i2解析:x=-1±4-12i2×1=-1±3i2.答案:C(2)在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为.解析:x=2±4×2×3-(-2)2i2×2=1±5i2.答案:1±5i2课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数的乘法运算例1计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2.解:(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.反思感悟(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.(2)像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其数值特征为(a+bi)·(a-bi)=a2+b2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i);(3)(1+i)2.解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i;(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数的除法运算例2计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2)1+i1-i6+2+3i3-2i.解:(1)(1+2i)÷(3-4i)=1+2i3-4i=(1+2i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)=-5+10i25=-15+25i;(2)原式=(1+i)226+(2+3i)(3+2i)(3)2+(2)2=i6+6+2i+3i-65=-1+i.反思感悟复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2计算:(1)7+i3+4i;(2)(-1+i)(2+i)-i.解:(1)7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i;(2)(-1+i)(2+i)-i=-3+i-i=(-3+i)·i-i·i=-1-3i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测虚数单位i乘幂的周期性例3计算i+i2+i3+…+i2020.解:方法一:原式=i(1-i2020)1-i=i(1-1)1-i=0.方法二:∵in+in+1+i𝑛+2+in+3=0,∴i+i2+i3+…+i2020=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)=0.反思感悟1.虚数单位i的周期性(1)i4n+1=i,i4𝑛+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).(2)in+in+1+i𝑛+2+in+3=0(n∈N).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.记住以下结果,可提高运算速度(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.(2)1-i1+i=-i,1+i1-i=i.(3)1i=-i.延伸探究计算i+i2+i3+…+i2021.解:方法一:原式=i(1-i2021)1-i=i(1-i)1-i=i.方法二:∵in+in+1+i𝑛+2+in+3=0,∴i+i2+i3+…+i2021=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)+i2021=i2021=i4×505+1=i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3(1)当z=-1-i2时,则z2010+z102=.解析:(1)z2=-1-i22=-i.z2010+z102=(-i)1005+(-i)51=(-i)1004·(-i)+(-i)48·(-i)3=-i+i=0.答案:0(2)计算1+i1-i·1+i1-i2·1+i1-i3·…·1+i1-i10.解:原式=i·i2·i3·…·i10=i1+2+3+…+10=i55=i3=-i.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测在复数范围内解方程例4(1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集.(2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).①求b,c的值;②试判断x=1-i是否是方程的根.解:(1)x=1±4×1×3-12i2=1±11i2,所以解集为1+11i2,1-11i2课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)①∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,∴𝑏+𝑐=0,2+𝑏=0,解得𝑏=-2,𝑐=2,故b的值为-2,c的值为2.②由(1)方程可化为x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴x=1-i也是方程的根.反思感悟一元二次方程中,若判别式Δ0,方程有两个互为共轭虚数的根,根与系数关系仍适用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4已知z∈C