2020新教材高中数学 第十章 复数 10.1.1 复数的概念课件 新人教B版必修第四册

-1-10.1.1复数的概念课标阐释思维脉络1.通过方程在实数系中无解的情况,了解复数概念的引入过程;2.掌握复数的概念、复数的代数形式表示;3.能利用复数的概念、复数相等解决有关问题课前篇自主预习一、复数的引入1.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4-25.提示:在有理数集中:x4-25=(x2+5)(x2-5).在实数集中:x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)(x+5)(x-5).在复数集中:x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)(x+5)(x-5)=(x+5i)(x-5i)(x+5)(x-5).课前篇自主预习(2)虚数单位i有哪些性质?提示:虚数单位i有如下几个性质:①i的平方等于-1,即i2=-1;②实数与i可进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成立;③i的乘方:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).2.填空一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1,并称i为虚数单位.3.做一做i4=.提示:i4=(i2)2=(-1)2=1.答案:1课前篇自主预习二、复数的概念1.思考(1)两个复数一定能比较大小吗?提示:不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.2.填空复数的有关概念①复数的概念:一般地,当a与b都是实数时,称①a+bi为复数,复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.②复数集定义:所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示.因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.课前篇自主预习3.做一做(1)下列命题中是假命题的是()A.自然数集是非负整数集B.实数集与复数集的交集为实数集C.实数集与虚数集的交集是{0}D.纯虚数与实数集的交集为空集解析:搞清复数的分类是解决本题的前提.答案:C课前篇自主预习(2)(1+3)i的实部与虚部分别是()A.1,3B.1+3,0C.0,1+3D.0,(1+3)i解析:(1+3)i可看作0+(1+3)i=a+bi,所以实部a=0,虚部b=1+3.答案:C(3)若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为.解析:由条件知a2-3+2a=0,∴a=1或a=-3.答案:1或-3课前篇自主预习三、复数相等1.思考(1)若复数z=a+bi(a,b∈R).z=0,则a+b的值为多少?提示:0(2)若复数z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a+b的值为多少?提示:42.填空两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.课前篇自主预习点拨两个复数不一定能比较大小:(1)根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必须都是实数(即虚部均为0).(3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.课前篇自主预习3.做一做(1)若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是()A.1,1B.-1,1C.1,0D.1,-1解析:∵(x+y)i=x-1,∴𝑥+𝑦=0,𝑥-1=0,解得𝑥=1,𝑦=-1.答案:D(2)若复数z=(m+1)+(m2-9)i0,则实数m的值等于.解析:∵z0,∴𝑚2-9=0,𝑚+10,∴m=-3.答案:-3课前篇自主预习四、复数的分类1.思考(1)复数z=a+bi在什么情况下表示实数?提示:b=0.(2)如何用集合关系表示实数集R和复数集C?提示:R⫋C课前篇自主预习2.填空不难看出,任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定,虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地,称虚部不为0的复数为虚数,称实部为0的虚数为纯虚数.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.这样,复数z=a+bi可以分类如下:课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.()②若a为实数,则z=ai一定是虚数.()③如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.()答案:①×②×③(2)若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1解析:∵z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,∴𝑥2-1=0,𝑥-1≠0,即𝑥=±1,𝑥≠1,∴x=-1.答案:A课前篇自主预习(3)实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i①是实数;②是虚数;③是纯虚数;④是0.解:由m2+5m+6=0,得m=-2或m=-3,由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.①当m2-2m-15=0时,复数z为实数,∴m=5或m=-3;②当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数,∴m≠5且m≠-3.③当𝑚2-2𝑚-15≠0,𝑚2+5𝑚+6=0时,复数z是纯虚数,∴m=-2.④当𝑚2-2𝑚-15=0,𝑚2+5𝑚+6=0时,复数z是0,∴m=-3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数的概念例1判断以下命题是否正确?(1)复数由实数、虚数、纯虚数构成;(2)两个复数一定不能比较大小;(3)复数m+ni中,实部和虚部分别是m和n;(4)在复数a+bi(a,b∈R)中,若a≠0,则a+bi一定不是纯虚数;(5)满足x2=-1的数x只能是i;(6)若a∈R,则复数(a+2)i是纯虚数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)不正确.复数是由实数和虚数构成的,虚数中包含纯虚数;(2)不正确.复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,它们就可以比较大小;(3)不正确.对于复数m+ni,由于没有条件“m,n∈R”,所以其实部和虚部不一定等于m和n;(4)正确.在复数a+bi(a,b∈R)中,只要a≠0,不论b=0还是b≠0,它一定不是纯虚数;(5)不正确.满足x2=-1的数x=±i;(6)不正确.当a=-2时,复数(a+2)i就是实数0,不是纯虚数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如:两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.2.两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等,要先确定是否为代数形式,确定实部、虚部后再应用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1设复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的必要不充分条件是()A.a=0B.a=0且b≠0C.a≠0且b=0D.a≠0且b≠0解析:由纯虚数的概念可知a=0得不到z=a+bi为纯虚数,z=a+bi为纯虚数可得到a=0,则选项A符合.选项B中a=0且b≠0是复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件.选项C,D中是z=a+bi为纯虚数的既不充分也不必要条件,故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数的分类例2m取何实数时,复数z=𝑚2-𝑚-6𝑚+3+(m2-2m-15)i.(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?解:(1)由条件得𝑚2-2𝑚-15=0,𝑚+3≠0,∴𝑚=5或𝑚=-3,𝑚≠-3.∴当m=5时,z是实数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)由条件得𝑚2-2𝑚-15≠0,𝑚+3≠0.∴𝑚≠5且𝑚≠-3,𝑚≠-3.∴当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由条件得𝑚2-𝑚-6=0,𝑚+3≠0,𝑚2-2𝑚-15≠0,∴𝑚=3或𝑚=-2,𝑚≠-3,𝑚≠5且𝑚≠-3.∴当m=3或m=-2时,z是纯虚数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,要采用复数的标准形式的代数式,若不是复数的标准代数形式,应先化为复数的标准代数形式z=a+bi(a,b∈R),再依据概念判断.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若将条件中的复数z改为z=𝑚2-𝑚-6𝑚+3+(m-3)i,其结果如何呢?解:(1)由题意,条件变为复数z=𝑚2-𝑚-6𝑚+3+(m-3)i,当𝑚-3=0,𝑚+3≠0,即m=3时,z是实数.(2)当𝑚-3≠0,𝑚+3≠0,即m≠3且m≠-3时,z是虚数.(3)当𝑚2-𝑚-6=0,𝑚-3≠0,𝑚+3≠0,即m=-2时,z是纯虚数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三复数相等例3(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y;(2)已知关于x,y的方程组𝑥+32+2(𝑦+1)i=𝑦+4𝑥i,2𝑥+𝑎𝑦-(4𝑥-𝑦+𝑏)i=9-8i有实数解,求实数a,b的值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)根据复数相等的充要条件得2𝑥-1=𝑦,1=-(3-𝑦),解得x=52,y=4.(2)由复数相等的充要条件知𝑥+32=𝑦,①2(𝑦+1)=4𝑥,②2𝑥+𝑎𝑦=9,③-(4𝑥-𝑦+𝑏)=-8,④由①②得𝑥=52,𝑦=4,代入③④得𝑎=1,𝑏=2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2(1)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a=.解析:由复数相等的充要条件知4-3𝑎=𝑎2,-𝑎2=4𝑎,∴a=-4.答案:-4(2)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值.解:∵x2-y2+2xyi=2i,∴𝑥2-𝑦2=0,2𝑥𝑦=2,解得𝑥=1,𝑦=1,或𝑥=-1,𝑦=-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测易错点1对复数的概念理解不透彻致误典例1在下列命题中,正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小;②若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2;③若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正解:当两个复数都是实数时,是可以比较大小的,故①是错误的;设z1=3+2i,z2=4+2i,它们虚部相等,z1≠z2,故②是错误的,③当a=b=0时,a-b+(a+b)i=0是实数,故③错误,因此选A.辨析两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,①中忽视了这一特殊情况导致错误;而错解②将虚数与纯虚数概念混淆,事实上纯虚数集是虚数集的真子集,在代数形式上,纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a+bi(a,b∈R,且b≠0).③中要保证a+b≠0才可能是纯虚数.点评复数有许多与实数不同的性质,在引用实数的一些结论时,一定要考虑在复数集中是否还成立,如两个实数可以比较大小,但不全为实数的两个复数就不能比较大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测易错点2错将复数大小比较与实数大小比较相混淆典例2求满足条件-2+a-(b-a)i-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值情况.正解:由-2+a-(b-a)i-5+(a+2b-6)i,可得-(𝑏-𝑎)=0,𝑎+2𝑏-6=0,-2+𝑎-5,即a=b=2.辨析1.不要想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大,而忽视了只有实数才能比较大小的前提,因此本题中的复数应为实数.2.两个复数能比较大小,前提是两个复数都是实数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.设i是虚数单位,m,n为