2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课件 新人教B版

-1-11.1.6祖暅原理与几何体的体积课标阐释思维脉络1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.2.了解球的体积公式,会计算球的体积.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.课前篇自主预习一、祖暅原理1.思考(1)请计算一下长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的体积和底面半径为23πcm,高为2cm的圆柱的体积.通过分析,你能发现什么结论?提示:根据V柱体=S底·h得这两个几何体的体积相等,均为24cm3.由此可知等底面积,且等高的圆柱和长方体的体积相等,不仅如此,在此基础上还有下面的一般规律——祖暅原理.课前篇自主预习(2)运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?提示:需要三个条件,分别是:①这两个几何体夹在两个平行平面之间.②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.③两个截面的面积总相等.课前篇自主预习2.填空填空:(1)祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”.(2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.课前篇自主预习3.做一做判断正误.(1)等底等高的两个柱体的体积相同.()(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.()(3)在公式V台体=13h(S上+𝑆上·𝑆下+S下)中h为该台体的侧棱或母线长.()(4)在三棱柱A1B1C1-ABC中有𝑉𝐴-𝐴1𝐵𝐶=𝑉𝐵1-𝐴1𝐶1𝐵=𝑉𝐶1-𝐴1𝐵𝐶成立.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√课前篇自主预习二、柱、锥、台的体积1.思考(1)求三棱锥的体积时有什么技巧?提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.课前篇自主预习(2)台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求?提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下:如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x,则V台体=V大锥体-V小锥体=13S(h+x)-13S'x=13[Sh+(S-S')x],而𝑆'𝑆=𝑥2(ℎ+𝑥)2,所以𝑆'𝑆=𝑥ℎ+𝑥,于是有x=√𝑆'ℎ√𝑆-√𝑆',代入体积表达式,得V台体=13ℎ𝑆+(𝑆-𝑆')√𝑆'√𝑆-√𝑆'=13h(S+√𝑆𝑆'+S').课前篇自主预习2.填空柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,柱体、锥体的底面积为S,底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r'和r.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥13Sh圆锥13πr2h台体棱台13S2+S2S1+S1h圆台13πh(r2+rr'+r'2)课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.()②棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()③圆台的高就是相应母线的长.()答案:①√②×③×(2)圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为()A.36πB.18πC.45πD.12π解析:V圆锥=13πr2·h,由r=3,l=5得h=4(其轴截面如图),所以V=13×π×9×4=12π.答案:D课前篇自主预习(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4、16,高为3,则该棱台的体积为.解析:因为S上底=4,S下底=16,h=3.所以台体=13(4+16+√4×16)×3=28.答案:28课前篇自主预习三、球的体积1.思考(1)球有底面吗?球面能展开成平面图形吗?提示:球没有底面,球的表面不能展开成平面.(2)将球的表面积公式S球=4πR2和球的体积公式V球=43πR3从公式结构上进行比较,你能发现S球和V球的关系吗?提示:半径为R的球,其体积V球和表面积S球有以下关系:V球=13S球·R.2.填空一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=.答案:43πR3课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①决定球的大小的因素是球的半径.()②球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()③球的体积V与球的表面积S的关系为V=𝑅3S.()④两个球的体积之比等于其半径比的立方.()答案:①√②√③√④√课前篇自主预习(2)球的体积是32π3,则此球的表面积是()A.12πB.16πC.16π3D.64π3解析:设球的半径为R,则V=4π3R3=323π,所以R=2,所以表面积S=4πR2=16π.答案:B(3)已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为.解析:依题意,43πR3=4πR2,得R=3.所以球的体积V球=43πR3=36π.答案:36π课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测柱体的体积例1用一块长4m,宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?解:①若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4m,此时圆柱底面周长为2m,即圆柱底面半径为R=1πm,所以圆柱的体积为V=πR2·l=π1π2·4=4π(m3).②若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得V=8π(m3),所以第二种方法可使铁筒体积最大.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4cm,AC=3cm,AA1=5cm,BD=2cm,则剩余部分的体积为cm3.解析:由题图可知所求的体积V=𝑉𝐴𝐵𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1−𝑉𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24.答案:24课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测锥体的体积例2(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16√2π,则圆锥的体积是()A.64π3B.128π3C.64πD.128√2π解析:作圆锥的轴截面(如图所示).由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB.设圆锥的高为h,底面半径为r,则h=r,PB=√2r.由S侧=π·r·PB=16√2π,得√2πr2=16√2π.所以r=4,h=4.故圆锥的体积V圆锥=13πr2h=643π.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.解:𝑉三棱锥𝐴1-𝐴𝐵𝐷=13S△ABD·A1A=13×12a2·a=16a3,故剩余部分的体积V=V正方体-𝑉三棱锥𝐴1-𝐴𝐵𝐷=a3-𝑎36=56a3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测延伸探究(变换条件,改变问法)将例2中第(1)题的条件“侧面积是16√2π”改为“若其体积为√3π”,求该圆锥的侧面积.解:设圆锥的底面半径为r,则高h=r,母线l=PB=√2r.由V圆锥=13πr2·h=13πr3=√3π,得r=√3,母线l=√6.故S圆锥侧=πrl=√3×√6π=3√2π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为()A.6√3cmB.6cmC.2√183cmD.3√123cm解析:由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度为h,圆的半径为r.圆锥的轴截面为正三角形,由右图可得𝑟ℎ=tan30°,∴r=√33h.由V圆柱=6×π×22=24π(cm3),V圆锥=13π·√33ℎ2·h,且V圆柱=V圆锥,得19πh3=24π,∴h=6(cm).答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测台体的体积例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解:如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O'、O分别为上、下底面的中心,D、D'分别是BC,B'C'的中点,则DD'是梯形BCC'B'的高,所以S侧=3×12×(20+30)×DD'=75DD'.又A'B'=20cm,AB=30cm,所以上、下底面面积之和为S上+S下=√34×(202+302)=325√3(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD'=325√3,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测所以DD'=13√33(cm),O'D'=√36×20=10√33(cm),OD=√36×30=5√3(cm),所以棱台的高h=O'O=𝐷'𝐷2-(𝑂𝐷-𝑂'𝐷')2=13√332-5√3-10√332=4√3(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=ℎ3(S上+S下+𝑆上·𝑆下)=4√33×√34×202+√34×302+√34×20×30=1900(cm3).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.又∠A1AB=60°,∴AD=𝐴1𝐷tan60°,即R-r=3×√33,∴R-r=√3.又∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°.∴BD=A1D·tan60°,即R+r=3×√3,∴R+r=3√3,∴R=2√3,r=√3,而h=3,∴V圆台=13πh(R2+Rr+r2)=13π×3×[(2√3)2+2√3×√3+(√3)2]=21π.所以圆台的体积为21π.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测球的体积例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π,求正四面体的体积.解:将正四面体ABCD置于正方体中.正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,√3由V球=4π3R3=4√3π,得R=√3,即正方体对角线为2√3,正方体棱长为2.所以VA-BCD=23-4×13×2×12×2×2=83.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍解析:设三个球的半径分别为x,2x,3x,则最大球的半径为3x,其体积V=43π·(3x)3又其余两个球的体积之和为43πx3+43π·(2x)3,所以43π·(3x)3÷43π𝑥3+43π·(2𝑥)3=3.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测逻辑推理、数学运算在求体积中的体现典例如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A.√312B.√34C.√612D.√64解析:本题直接求解不方便,由于三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,而三棱锥A-B1BC1的高为√32,底面积为12,其体积为13×12×√32=√312,因此三棱锥B1-ABC1的体积为√312,故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接